Cevap :
Örneğin;
( 2n2 ) = ( 2, 8, 16, 32, 64, …, 2n2, … )
( 3n ) = (3, 6, 9, 12, 15, …, 3n, … )
( 2/n ) = (2, 1, 2/3, 2/4, 2/5, …, 2/n, … )
Bir dizinin genel terimi verilmiş ise o dizi belirlidir. Dizinin birkaç teriminin verilmiş olması ile dizi belirtilmiş olmaz.
ÖRNEK:
Aşağıdakilerden hangisi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olamaz?
3n+1 / n+2
a)
b) 1/5
c) 2+4+6+8+…+n
d)
Cevap:
a şıkkını incelersek 3n+1/n+2 de n yerine 1,2, … değerlerini koyduğumuzda sonucun hep reel sayılardan oluştuğu görülmektedir. O halde a şıkkındaki terim bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir.
b şıkkını incelersek de n yerine 1,2, … değerlerini koyduğumuzda sonucun hep reel sayılardan oluştuğu görülmektedir. O halde b şıkkındaki terim bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir.
c şıkkını incelersek c deki 1/5 ifadesi herhangi bir n değerine bağlı değildir. Yani dizinin bir tek elamanı vardır veya bütün elemanları birbirine eşittir. 1/5 ifadesi gerçel sayı olduğu için c şıkkındaki terim bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir.
d şıkkını incelersek 2+4+6+8+…+n de n yerine 1,2, … değerlerini koyduğumuzda sonucun hep reel sayılardan oluştuğu görülmektedir. O halde d şıkkındaki terim bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir.
e şıkkını incelersek de n yerine 4 yazdığımızda sonucun olduğu görülmektedir. Bu sayı reel (gerçel) sayı olmadığından bu terim bir reel (gerçel) sayı dizisinin genel terimi olamaz.
Yani cevabımız e şıkkı olacaktır.
ÖRNEK:
Cevap:
3. terim: 3 / 3.3-1 = 3 / 8 ( 3 tek olduğundan )
4. terim: 3.4 – 1 = 11 ( 4 çift olduğundan )
7. terim: 3 / 3.7-1 =3 / 20 (7 tek olduğundan )
ÖRNEK:
Cevap:
ÖRNEK:
( n2-8n+1 /n+2) dizisinin kaç terimi 1/2, den küçüktür?
Cevap:
n2-8n+1 / n+2 < 1/2
n2-8n+1 < n+2 / 2
2n2-16n+2 < n+2
2n2 < 17n
n < 17 / 2
n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 değerlerini alabilir. Yani 8 terimi vardır.
SABİT DİZİLER
Tüm terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.
EŞİT DİZİLER
Her için an =bn ise ( an), ( bn ) dizileri eşittir denir ve ( an ) = ( bn ) ile gösterilir.
Örnek:
( an ) = ( n2+n / 2 ) ve ( bn ) = ( 1+2+…+n ) dizilerinin eşit diziler olduğunu gösteriniz?
Cevap:
n=1 için an = 1+1 / 2 = 1
bn =1
n=2 için an = 4+2 / 2 = 3
bn =1+2=3
n=3 için an = 9+1 / 3 = 6
bn =1+2+3 = 6
n in bütün değerlerinde an = bn olduğu görülmektedir. Yani bu iki dizi eşit dizilerdir.
SONLU DİZİLER
Olmak üzere tanım kümesi AP olan her fonksiyona bir p terimli sonlu dizi denir.
ÖRNEK:
A7 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } olmak üzere f : A7 àR, f(n) = (2n+3 / 2 ) dizisinin terimlerini bulunuz.
f(1) = 2.1+3 / 2 = 5/2
f(2) = 2.2+3 / 2 = 7/2
f(3) = 2.3+3 / 2 = 9/2
f(4) = 2.4+3 / 2 = 11/2
f(5) = 2.5+3 / 2 = 13/2
f(6) = 2.6+3 / 2 = 15/2
f(7) = 2.7+3 / 2 = 17/2
olduğundan
(2n+3 / 2) = ( 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 17/2 )
olur.
UYARI:
Dizi denilince daima sonsuz dizi anlaşılmalıdır. Sonlu kelimesi kullanılmadığı zaman dizi sonsuz dizidir.
ALT DİZİ:
Her için ve olmak üzere (an) dizisinde n yerine (kn) yazılarak elde edilen dizisine (an) dizisinin alt dizisi denir.
Biçiminde yazılır. Her dizi yine kendisinin bir alt dizisidir.
ÖRNEK:
(an) = ( 2/3n ) = ( 2/3,1/3,2/9,…. )
(a2n) = ( 2/6n ) = ( 2/6,1/6,2/18,…. )
(a5n) = ( 2/15n ) = ( 2/15,1/15,2/45,…. )
ÖRNEK:
(a2n+1) = ( 5n+7 / 4n+3 ) ise (an) dizisini bulunuz?
Cevap:
2n+1 = k
n = k-1 / 2
( ak ) = ( (5k-5 / 2)+7 ) / (2k-2+3)
( ak ) =5k+9 / 4k+2
olarak bulunur. k yerine n yazarsak
( an ) =5n+9 / 4n+2
olur.
DİZİLERDE İŞLEMLER:
( an ) ve ( bn ) birer gerçel terimli dizi ve olsun
1- k ile ( an) in çarpımı :k . ( an ) = ( k.an )
2- ( an ) ile ( bn ) nin toplamı : ( an ) + ( bn ) = ( an + bn )
3- ( an ) ile ( bn ) nin farkı : ( an ) - ( bn ) = ( an - bn )
4- ( an ) ile ( bn ) nin çarpımı : ( an ) . ( bn ) = ( an . bn )
5- ise ( an ) dizisinin ( bn ) dizisine bölümü: ( an ) / ( bn ) = ( an / bn )
Tanım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise IR gerçel sayılar kümesi olan bir fonksiyona dizi denir. Dizinin verilebilmesi için her 1, 2, …, n, …
doğalsayılarına x1 , x2 , …., xn , … gibi gerçel sayıların karşı getirilmesi gerekmektedir. x1, x2, … .. sayılarına dizinin terimleri, n ye bağlı bir ifade olan xn ye ise dizinin genel terimi denir.
Diziler ya x1, x2, x3 ,….gibi veya xn genel terimini parantez içine alarak {xn} veya (xn) gibi de gösterilebilir.
Aritmetik Dizi
a ve d gerçel sayılar olmak üzere,
a, a + d, a + 2d, a + 3d, …
dizisinin genel terimi xn= a + (n – 1).d dir. Böyle ifade edilebilen bir diziye aritmetik dizi, d sayısına da dizinin ortak farkı denir.
(a + (n – 1).d) aritmetik dizisinde ardışık (birbirini takip eden) herhangi iki terim arasındaki farkın daima sabit olup d ye eşit olduğuna dikkat ediniz.
