Cevap :
Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci İtalya´nın ünlü Pisa şehrinde doğmuştur. Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir´de geçmiştir. İlk matematik eğitimini müslüman bilim adamlarından almış ve İslam aleminin kitaplarını incelemiş ve çalışmıştır. Avrupa´da Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı ortalarda yokken Leonarda Arap rakamlarını ve sıfırı öğrenmiştir.
1201 yılında "Liber Abacci" (cebir kitabı manasına gelir) adında bir matematik kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupa´ya Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini tanıtmıştır. Bu kitapta, ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik ( toplama, çarpma, çıkartma ve bölme ) kurallarını bir çok örnek vererek anlatmıştır.
FİBONACCİ DİZİSİ
Gelelim Fibonacci´nin ünlü sorusuna..
"Bir çift yavru tavşan( bir erkek ve bir dişi) var. Bir ay sonra bu yavrular erginleşiyor..
Erginleşen her çift tavşan bir ay sonra bir çift yavru doğuruyorlar. Her yavru tavşan bir ay sonra erginleşiyorlar. Hiç bir tavşanın ölmediğini ve her dişi tavşanın bir erkek bir dişi yavru doğurduğunu
varsayalım. Bir yıl sonra kaç tane tavşan olur?"
1. İlk ayın sonunda , sadece bir çift vardır.
2. ikinci ayın sonunda dişi bir çift yavru doğurur, ve elimizde 2 çift tavşan vardır.
3. Üçüncü ayın sonunda, ilk dişimiz bir çift yavru doğurur, 3 çift tavşanımız olur
4. Dördüncü ayın sonunda , ilk dişimiz yeni bir çift yavru daha doğurur, iki ay önce doğan dişi de bir çift yavru doğurur ve 5 çift tavşanımız vardır.
Bu şekilde devam ederek şu diziyi elde ederiz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89,144 Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin olduğu ay) ile Aralık arasındaki ayların her birinde tavşan çiftlerinin sayısını vermektedir.
Peki, bu diziyi böylesine ilginç kılan nedir? Bunu üç ayrı nedene bağlayabiliriz.
1. İlk olarak dizinin küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde karşımıza çıkmasıdır.; bitkiler, böcekler, çiçekler vb. şeylerle ilgili olarak..
2. İkinci neden, oranların limit değeri olan 0,618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır. ALTIN ORAN diye adlandırılan bu sayı Leonardo Da Vinci'nin resimlerinden eski Yunan tapınaklarına kadar bir çok sanat eserinde ve doğada karşımıza çıkan bir sayıdır.
3. Üçüncüsü ise sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı bir çok kullanımı olmasıdır.
FİBONACCİ SAYILARI VE BİTKİLER
Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki, yapraklar ,hiç bir yaprak alttaki yaprağı kapmayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığın eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor.
Bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacici sayıları bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya ya da yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır.
Fibonacci sayılarıyla bitki aleminde karşılaşmanın en çarpıcı örneklerinden biri ayçiçeği tohumlarında mevcut, saat ibresinin hareket yönünde ve buna karşı yönde uzayan iki tür spirallerin sayısının ardışık iki Fibonacci sayısı olmasıdır. Orta büyüklükte ayçiçekleri için spirallerin sayısı 34´ karşılık 55 veya 55´e karşılık 89, daha büyükleri için 89´a karşılık 144, ve küçükler içinde 13´e karşılık 21 veya 21´e karşılık 34 olarak gözlenmiştir.
Buna benzer bir durum papatya çiçeklerinde 21´e karşılık 34, ananaslarda 8´e karşılık 13, çam kozalaklarında 5´e karşılık 8 veya 8´e karşılık 13 olarak gözlenmiştir.
Bitki aleminde yaprakların saplar üzerindeki dizilişi (phyllotaxy) ile Fibonacci sayıları arasındaki ilişkiye dair çok sayıda örnek vardır. Örneğin 2/5 kesri ile ifade edilen bir phyllotaxy, iki yaprağın sap boyunca aynı sıraya gelinceye kadar sap etrafında iki tur yaptığını ve sap boyunca 5 tane sıra oluşturduğunu anlatmaktadır. Sap boyunca belli bir yapraktan sonra 6. yaprak aynı sırada (hizada)
olup, ardışık iki yaprak sap etrafında 720/5=144 derecelik açı yapmaktadır. Bazı bitkiler için bu oranlar: Karaağaç, çim için 1/2, Kayın için 1/3, Meşe, elma, armut için 2/5, Kavak, muz için 3/8, Badem, pırasa için 5/13 olarak gözlenmiştir.
Fibonacci dizisine büyüyen bir bitkinin üzerinde oluşan koltuk ve sap sayısında da rastlanır.
Yukarıdaki şekilde olduğu gibi sağa doğru uzayan bir petek ve n numaralı gözeye ulaşmak isteyen ancak büyük numaralı gözeden küçük numaralı gözeye dönmeyen bir arı göz önüne alalım. Arı n numaralı gözeye ulaşmak için kaç farklı yol izleyebilir? n = 1, 2, ... için b(n), n numaralı gözeye ulaşmak için izlenebilecek yol sayısı olsun. b(1) = 1, b(2) = 2 olmak üzere arının n numaralı gözeye gelebilmesi için ya n-1 numaralı ya da n-2 numaralı gözeye gelmiş olması gerekir ki, buralara b(n-1) ve b(n-2) yoldan gelebileceğinden, b(n) = b(n-1) + b(n-2) indirgeme bağıntısı elde edilir ki buda Fibonacci dizisinin indirgeme bağıntısının kendisidir.
(b(n)) dizisinin elemanları, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... olmak üzere
bunlar bir eleman gecikmeli Fibonacci dizisinin elemanlarıdır.
Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci İtalya´nın ünlü Pisa şehrinde doğmuştur. Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir´de geçmiştir. İlk matematik eğitimini müslüman bilim adamlarından almış ve İslam aleminin kitaplarını incelemiş ve çalışmıştır. Avrupa´da Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı ortalarda yokken Leonarda Arap rakamlarını ve sıfırı öğrenmiştir.
1201 yılında "Liber Abacci" (cebir kitabı manasına gelir) adında bir matematik kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupa´ya Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini tanıtmıştır. Bu kitapta, ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik ( toplama, çarpma, çıkartma ve bölme ) kurallarını bir çok örnek vererek anlatmıştır.
FİBONACCİ DİZİSİ
Gelelim Fibonacci´nin ünlü sorusuna..
"Bir çift yavru tavşan( bir erkek ve bir dişi) var. Bir ay sonra bu yavrular erginleşiyor..
Erginleşen her çift tavşan bir ay sonra bir çift yavru doğuruyorlar. Her yavru tavşan bir ay sonra erginleşiyorlar. Hiç bir tavşanın ölmediğini ve her dişi tavşanın bir erkek bir dişi yavru doğurduğunu
varsayalım. Bir yıl sonra kaç tane tavşan olur?"
1. İlk ayın sonunda , sadece bir çift vardır.
2. ikinci ayın sonunda dişi bir çift yavru doğurur, ve elimizde 2 çift tavşan vardır.
3. Üçüncü ayın sonunda, ilk dişimiz bir çift yavru doğurur, 3 çift tavşanımız olur
4. Dördüncü ayın sonunda , ilk dişimiz yeni bir çift yavru daha doğurur, iki ay önce doğan dişi de bir çift yavru doğurur ve 5 çift tavşanımız vardır.
Bu şekilde devam ederek şu diziyi elde ederiz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89,144 Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin olduğu ay) ile Aralık arasındaki ayların her birinde tavşan çiftlerinin sayısını vermektedir.
Peki, bu diziyi böylesine ilginç kılan nedir? Bunu üç ayrı nedene bağlayabiliriz.
1. İlk olarak dizinin küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde karşımıza çıkmasıdır.; bitkiler, böcekler, çiçekler vb. şeylerle ilgili olarak..
2. İkinci neden, oranların limit değeri olan 0,618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır. ALTIN ORAN diye adlandırılan bu sayı Leonardo Da Vinci'nin resimlerinden eski Yunan tapınaklarına kadar bir çok sanat eserinde ve doğada karşımıza çıkan bir sayıdır.
3. Üçüncüsü ise sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı bir çok kullanımı olmasıdır.
FİBONACCİ SAYILARI VE BİTKİLER
Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki, yapraklar ,hiç bir yaprak alttaki yaprağı kapmayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığın eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor.
Bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacici sayıları bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya ya da yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır.
Fibonacci sayılarıyla bitki aleminde karşılaşmanın en çarpıcı örneklerinden biri ayçiçeği tohumlarında mevcut, saat ibresinin hareket yönünde ve buna karşı yönde uzayan iki tür spirallerin sayısının ardışık iki Fibonacci sayısı olmasıdır. Orta büyüklükte ayçiçekleri için spirallerin sayısı 34´ karşılık 55 veya 55´e karşılık 89, daha büyükleri için 89´a karşılık 144, ve küçükler içinde 13´e karşılık 21 veya 21´e karşılık 34 olarak gözlenmiştir.
Buna benzer bir durum papatya çiçeklerinde 21´e karşılık 34, ananaslarda 8´e karşılık 13, çam kozalaklarında 5´e karşılık 8 veya 8´e karşılık 13 olarak gözlenmiştir.
Bitki aleminde yaprakların saplar üzerindeki dizilişi (phyllotaxy) ile Fibonacci sayıları arasındaki ilişkiye dair çok sayıda örnek vardır. Örneğin 2/5 kesri ile ifade edilen bir phyllotaxy, iki yaprağın sap boyunca aynı sıraya gelinceye kadar sap etrafında iki tur yaptığını ve sap boyunca 5 tane sıra oluşturduğunu anlatmaktadır. Sap boyunca belli bir yapraktan sonra 6. yaprak aynı sırada (hizada)
olup, ardışık iki yaprak sap etrafında 720/5=144 derecelik açı yapmaktadır. Bazı bitkiler için bu oranlar: Karaağaç, çim için 1/2, Kayın için 1/3, Meşe, elma, armut için 2/5, Kavak, muz için 3/8, Badem, pırasa için 5/13 olarak gözlenmiştir.
Fibonacci dizisine büyüyen bir bitkinin üzerinde oluşan koltuk ve sap sayısında da rastlanır.
Yukarıdaki şekilde olduğu gibi sağa doğru uzayan bir petek ve n numaralı gözeye ulaşmak isteyen ancak büyük numaralı gözeden küçük numaralı gözeye dönmeyen bir arı göz önüne alalım. Arı n numaralı gözeye ulaşmak için kaç farklı yol izleyebilir? n = 1, 2, ... için b(n), n numaralı gözeye ulaşmak için izlenebilecek yol sayısı olsun. b(1) = 1, b(2) = 2 olmak üzere arının n numaralı gözeye gelebilmesi için ya n-1 numaralı ya da n-2 numaralı gözeye gelmiş olması gerekir ki, buralara b(n-1) ve b(n-2) yoldan gelebileceğinden, b(n) = b(n-1) + b(n-2) indirgeme bağıntısı elde edilir ki buda Fibonacci dizisinin indirgeme bağıntısının kendisidir.
(b(n)) dizisinin elemanları, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... olmak üzere
bunlar bir eleman gecikmeli Fibonacci dizisinin elemanlarıdır.
