vektörlerde lineer bağımsızlığı örnekle açıklar mısınız..??
1.1. Bir Lineer Dönüşümün Matrisi
T : V → W lineer dönüşümü verilsin.
E = { x1
, x2
, ... , xn
} ve F = { y1
, y2
, ... , ym
} kümeleri sırasıyla V ve W vektör uzaylarının
birer tabanı olsun. Burada boy V= n, boy W= m olduğuna dikkat ediniz. V nin E deki
taban vektörlerinin T altındaki görüntüleri, T ( x1
) , T( x2
) , ... , T( xn) ∈ W
dir. Bu vektörler, W nin taban vektörlerinin bir lineer bileşimi olarak yazılabilir.
T ( x1
) = a11 y1+ a21 y2+ ... + am1
ym
T ( x2
) = a12 y1+ a22 y2+ ... + am2
ym
.
.
.
T ( xn
) = a1n y1+ a2n
y2+ ... + amn ym
eşitliklerini sağlayan tek türlü yij ∈ R (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ... , n) sayıları vardır.
Yukarıdaki eşitliklerdeki yi
lerin katsayılarının oluşturduğu matrisin transpozesi
olan mxn boyutlu A = (aij
) matrisine T lineer dönüşümünün E ve F tabanlarına gö-
re matrisi denir ve
ile gösterilir.
Buna göre, T : V → W lineer dönüşümünün tanım kümesi n-boyutlu, değer kü-
mesi m-boyutlu ise dönüşümü temsil eden matris mxn boyutludur.
Şimdi çeşitli lineer dönüşümlerin dönüşüm matrislerini bulalım:
B İ R L İ N E E R D Ö N Ü Ş Ü M Ü N M A T R İ S L E R L E G Ö S T E R İ L M E S İ 171
A =
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn mxnA N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
1.2. Örnek
T: R3
→ R2
T (x, y, z) = (x + y , y - z)
lineer dönüşümünün
S = { s1 = (1, 0, 1), s2 = (0, 1, 1), s3 = (1, 1, 1) } ve F = { f1 = (1,2) , f2 = (-1, 1) }
tabanlarına göre dönüşüm matrisini bulunuz.
Çözüm
Dönüşüm matrisi 2x3 boyutludur. Bu matrisin sütunları T (sJ
) vektörlerinin F tabanına göre koordinatlarından oluşur. (Bir vektörün bir tabana göre koordinatlarını 6.
Ünitede bulmuştuk)
T(s1
) = T (1, 0, 1) = (1 + 0, 0 -1) = (1, -1)
(1, -1) = a f1
+ b f2
= a (1, 2) + b (-1, 1)
(1, -1) = ( a - b, 2a + b)
a - b = 1
2a + b = -1 olur. Buradan a = 0 , b = -1 bulunur.
T(s1
) = 0 f1 + (-1) f2
olup, dönüşüm matrisinin 1. sütunu
olur.
T(s2) = T (0, 1, 1) = (0 +1, 1-1) = (1, 0)
(1, 0) = a f1 + b f2 = a (1, 2) + b (-1, 1)
eşitliğinden
olup matrisin 2. sütunu
T(s3 ) = T (1, 1, 1) = (1 +1, 1-1) = (2, 0)
(2, 0) = a f1 + b f2 = a (1, 2) + b (-1, 1)
eşitliğinden
B İ R L İ N E E R D Ö N Ü Ş Ü M Ü N M A T R İ S L E R L E G Ö S T E R İ L M E S İ
172
0
-1
a =
1
3
, b = -
2
3
, bulunur
T s2 =
1
3
f1 -
2
3
f2
1
3
-
2
3
olur
a =
2
3
, b = -
4
3
, bulunur
A(3,2) B(6,X) VEKTÖRLERİ LİNEER BAĞIMSIZ İSE X HANGİ DEĞERİ ALAMAZ?
3/6=DEĞİLDİR 2/X
X BURDAN 3 DEĞERİNİ ALAMAZ!!
KENDİM YAZDIM EN İİ ÇÖZÜM YAPARSIN ARTIK
KOLAY GELSİN!!!