x-y=4 x^{2} - y^{2} =16 olduğuna göre x.y kaçtır

Örnek : Bir üçgenin kenarları sırasıyla 3 , 5 , 6 sayılarıyla orantılıdır. Bu üçgenin çevresi 56 cm olduğuna göre her bir kenarın uzunluğunu bulunuz.

Çözüm : Üçgenin kenarları sırasıyla a , b , c olsun. a/3 = b/5 = c/6=k ise a+b+c/ 3+5+6 = k olur. a+b+c = 56 olduğuna göre k = 56/14 = 4 olur. a/3 = 4 → a =12 cm b/5 = 4 → b = 20 cm ve c/6 = 4 →c = 20 cm olur.

Örnek : a , b, c sayıları sırasıyla 2 , -5 , 8 sayılarıyla orantılıdır, 4a-7b+2c = 295 ise a=? b=? c=?

Çözüm : a/2 = b/-5 = c/8 = k olur. a/2 ifadesini 4 ile , b/-5 ifadesini -7 ile , c/8 ifadesini 2 ile genişletelim. 4a/8 = -7b/35 = 2c/16 =k Buradan 4a-7b+2c / 8+35+16 = k yani 295/59 = 5 = k olur. a=10 b = -25 c = 40

Örnek : x/2 = y/4 = z/3 ise x2 + y2 + z2 / x2 + y.z = ?

Çözüm : x/2 = k → x= 2k y/4 = k → y = 4k z/3 = k → z = 3k Bu değerleri yerlerine yazarsak 4k2 + 16k2 + 9k2 / 4k2 +4k.3k → 29k2 / 16k2 = 29/16 olur.

8-) a/b = c/d = k ise a.c/b.d = a2/b2 = c2/d2 = k2

Örnek : Bir dikdörtgenin uzun kenarı 7 ile , kısa kenarı 5 ile orantılıdır. Bu dikdörtgenin alanı 315 m2 ise kenarları kaçar metredir ?

Çözüm: Dikdörtgenin alanı a . b dir. a.b / 7.5 = k2 → 315/35 =9 → k2 = 9 → k = 3 a/7 =3 → a=21m ve b/5 = 3 → b = 15m

DOĞRU ORANTI

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu tür orantılara doğru orantı denir. a ve b doğru orantılıysa a/b =k (sabit)

Örnek : 5 litre benzine 7 lira ödeyen bir kişi , 15 litre benzine ne kadar ücret öder ?

Çözüm: 5 litre 7 lira

15 litre x lira (doğru orantı) İçler dışlar çarpımı yaparsak 5x = 7.15 x = 21 lira

Örnek : a+5 sayısı b-2 ile doğru orantılıdır. a=7 için b = 5 oluyorsa a = 15 için b = ?

Çözüm : a+5 / b-2 = k 7+5 / 5-2 = k → k = 4 olur. 15 +5/ b-2 = 4 20/ b-2 = 4 → b = 7 olur.

TERS ORANTI

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda artıyorsa bu tür orantılara ters orantı denir. a ve b ters orantılıysa a . b =k (sabit)

Örnek : Aynı güçte iki işçi bir inşaatı 21 günde bitiriyorsa , aynı niteliklere sahip 6 işçi aynı inşaatı kaç günde bitirir ?

Çözüm: 2 işçi 21 gün

6 işçi x gün (ters orantı) Karşılıklı elemanların çarpımını eşitlersek 6x = 2.21 → 6x = 42 → x = 7 gün

Örnek : y sayısı x sayısı ile ters orantılıdır. x = 10 iken y = 3 ise y=15 iken x = ?

Çözüm : x . y = k 10.3 = 30 k= 30 → y = 15 iken 15 . x = 30 Bu durumda x =2 olur.

Örnek : Bir dikdörtgenin uzunluğu 3 ile , genişliği ise 4 ile ters orantılıdır. Dikdörtgenin çevresi 56 m ise her bir kenarın uzunluğunu bulunuz.

Çözüm : 3a = 4b = k Bunu a / 1/3 = b / 1/4 = k biçiminde yazıp toplama özelliğini uygularız. a+b / (1/3 + 1/4) = k a+b / 7/12 = k a+b = 56 : 2 = 28 olduğuna göre k = 28 / 7/12 = 48 olur. 3a = 48 → a = 16 m ve 4b = 48 → b = 12 m

BİLEŞİK ORANTI

x , y ile doğru ve z ile ters orantılı ise x.z/y =k olur.

Örnek : a sayısı b+3 ile doğru , c+1 ile ters orantılıdır.b=3 , a=6 iken c = 4 oluyor. a=8 , c= 9 iken b =?

Çözüm : a.(c+1) / b+3 = k olur. a = 6 , b = 3 , c = 4 değerlerini yerlerine yazarsak k=5 olur. İkinci durumda , 8.(9+1) / c+3 = 5 →80/c+3 = 5 → c = 13 olur.

Örnek : Aynı nitelikte 3 traktör 10 dönümü 8 günde sürüyorsa, aynı nitelikte 5 traktör 25 dönümü kaç günde sürer ?

Çözüm : Traktör sayısı ile gün sayısı ters orantılıdır. Dönüm sayısı ise gün sayısı ile doğru , traktör sayısı ie doğru orantılıdır.Buna göre 3.25.8 = 5.10.x x = 12 günde sürer.

GEOMETRİK ORTALAMA

a,b€R+ olmak üzere a ve b'nin geometrik ortalaması √a.b olur.

Örnek : 4 ve 9 'un geomtrik ortalaması nedir ?

Çözüm: √ 4.9 = 6