Cevap :
Bir Polinom ifadenin daha düşük dereceli ifadelerin çarpım şeklinde yazılmasına çarpanlara ayrıma denirÇarpanlara Ayırma denir.
Çarpanlara Ayırma rasyonel ifadelerin sadeleşmesine ve denklem çözümlerinin çok kullanıldığı bir işlemdir.Çarpanlara ayırmada ilk adım çarpanların toplama üzerinde dağılma özelliğinden faydalanarak EBOÇ (En Büyük Ortak Çarpan ) kullanmaktır.
İki yada daha fazla üstel ifade verildiğinde bunların üsleri veya tabanları aynı olması halinde EBOÇ kullanılır
için EBOÇ = dür,
için EBOÇ = a dır
Ör:
Polinom ifadelerinin bazıları ise GRUPLANDIRILARAK çarpanlara ayrılabilir.
ifadesini ele alırsak ; ilk iki ile son iki terimlisi gruplandırılmalı.
her grup içinde EBOÇ bulunmalı.
=(2y-7).(3y² -2)
3 terimli Polinom ifadelerinde deneme yöntemi ile çarpanlara ayrıma yapılır.
Ör:
in çarpanlarına ayırmada dikkat edilecek hususlar ;
1-) c sabiti dağılma özelliği iki terimlinin sabitlerinin çarpımından gelir.
2-)b katsayısı iki terimlideki sabitlerin toplamıdır.
3-)c pozitif ise, iki terimlideki sabitler aynı işaretlidir.
4-) c negatif ise, iki terimlideki sabitler ters işaretlidir.b`nin önündeki önündeki işaret ise mutlak değerce büyük olan sabitin işaretidir.
Örnek;
ifadesini çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
Burada uygulanacak yöntem ; -18’in çarpanlarını bularak bunlardan hangi ikisinin toplamının +7 verdiğini bulmaktır. Bu ise -2 ve +9 ‘un toplamıdır.
(x-2).(x+9)
‘nin çarpanlara ayrılmasında dikkat edilecek hususlar ;
- Üç terimlinin sabit terimi pozitif ise iki terimlinin sabit terimleri aynı işaretli olup bu işaret aynı zamanda b’ninde işaretidir
- Üç terimlinin sabit teriminin sabit işareti negatif ise iki terimlilerin sabit terimlilerin sabitleri ters işaretleridir.
- Üç terimli ifadenin terimlerinin ortak çarpanı yoksa , iki terimlilerinde ortak çarpanı yoktur.
Örnek ;
ifadesinin çarpanlarına ayırınız.
Çözüm: Sabit terim +4 olup, çarpanlarına ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin sabit terimleri aynı aynı işaretli oldukları anlaşılır. b = -11 olduğu için her ikisininde (-) olduğuna karar verilir
Bu çarpanlarda doğru orta terim bulmaya çalışılır.
Denen Çarpanlar Ortadaki Terim
(x-1).(6x-4) 6x ile 4’ün ortak çarpanı var.
(x-4).(6x-1) -x-24 = -25x
(x-2).(6x-2) 6x ile 2’nin ortak çarpanları var
(2x-1).(3x-4) -8x-3x =-11x -> Doğru Orta Terim
O Halde:
DİKKAT:Bazı durumlarda bir bir polinomu iki polinomun (tam katsayılı) çarpımı şeklinde ifade etmek mümkün (bilgi yelpazesi.net) olmayabilir. Örneğin tam sayılarda çarpanlara ayrılamaz.Çünkü 7 sayının çarpanlarının toplamının veya farkı üç sayısını veremez.
ÇARPANLARA AYIRMA TEOREMİ:
Üç terimli polinomlarda tamsayı katsayıları a,b,c olmak üzere, şayet tam kare ise bu üç terimli iki terimlinin çarpımı halinde yazılabilir.
Örnek: ifadelerini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm :
121 tam kare olduğundan çarpanlarına ayrılabilir.
Bazı polinomların dereceleri ikiden fazla olmasına rağmen deneme metotu kullanarak çarpanlara ayrılabilir.
polinomunu ele alırsak tüm terimlerin işaretlaerinin pozitif olduğunu görüyoruz; buradan da çarpanlara ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin bütün katsayılarının pozitif olması gerekiyor.
Bir harfli ifadeyi, iki veya daha fazla ifadenin çarpımı biçiminde yazmaya çarpanlara ayırma denir.
Çarpanlara Ayırma Yöntemler:
1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma : Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır.Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.
1) Aşagidaki ifadeleri Çarpanlarina ayiriniz.
a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m – 10mn = 5m (1 – 2)
c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)
e) 3ax + 3ay – 3az f) (a – b) x + 3 (a – b)
g) (m – n) – (a + b)(m – n) h) – a – b – x2 (a + b)
ı) x2(p – 3) + ma2 (3 – p) i) 1 – 2x + m (2x – 1)
2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma : Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı ortak çarpanlarına ayrılır.
2) a) mx + ny + my + nx b) xy – xb – yb + b2
c) x4 – 4 + 2×3 – 2x d) 2×2 -3x – 6xy + 9y
e) x3 – x + 1 – x2 f) x4 – x + x3 – 1
g) ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2) h) ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b
ı) mn(zi + y2) + zy (m2 + n2) i) a2b2 + 1 – (a2 + b2)
3) Tam Kare şeklindeki Ifadeleri Çarpanlara Ayirma : Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpimi nin iki kati ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
3) a) x2 + 4xb + 4b2 b) 4a2 + 12ab + 9b2 c) 4a2b2 – 4abc + c2
4) a) a2b + 8ab +16b3 b) 2m3 – 28m2 +98m c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3
4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma : Polinom iki terimli , işaretleri farkli, kare kökleri aliniyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
5) a) 25 – 9a2b2 b) x4 – 1 c) (m – n)2 – (m + n)2
6) a) 18×2 – 2y2 b) 2a2b3 – 32b c) 12x3y – 75xy5
7) a) 9a2 – 6a +1 – b2 b) x2 – 12x + 36 – 4y2 c)16m2 – n2 – 6n – 9
d)1 – x2 – 2xy – y2 e) m2 – n2 – 3m + 3n f) a2 – 25b2 – a + 5b
g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2 h) 9a2 -16m4 – 12axy + 4x2y2
5) İki Küp Toplamı – Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma: a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
8) a) a3 + 8 b) 8 – m3 c) x3 + 1 d) 27a3 – 64 e) x3a3 + b3
9) a) 81m3 – 3n3 b) 24x3y – 3y c) 2x + 54×4
10) a) (x +y)3 – 8 b) a3 + 8(a – b)3 c) (m – n)3 + 1
6) xn yn biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:
11) a) x4 + 1 = (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)
b) x4 – 1 = (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)
c) x5 + 25 = (x + 2) (x4 – 2×3 + 4×2 – 8x + 16)
d) x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)
7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma: Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir
12) 4×4 + 7×2 + 4 ifadesini Çarpanlarına ayırınız.
4×4 + 7×2 + 4 = 4×4 + 7×2 + 4 + x2 – x2 = 4×4 + 8×2 + 4- x2
= (2×2 + 2)2 – x2
2×2 2 = (2×2 + 2 – x) (2×2 + 2 + x)
2.2×2.2 = 8×2 = (2×2 – x + 2) (2×2 + x + 2)
13) x2 – 6x + 5 ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini
ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.
x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5 = (x – 3)2 – 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)
14) a) m2 + 2m – 24 b) a4 + a2 + 1 c) 16a4 + 4a2b2 + b4
d) a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1 (Not: b2 yi bir ekleyip – çıkar )
8) x2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarina Ayirma : Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız. Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (-) ise işaretleri farklı Toplamları (+) “ “ (+) olur Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur Toplamları (-) “ “ (-) olur Toplamları (-) “ büyüğü (-) olur
15)a) x2 + 5x + 6 b) x2 – 5x + 6 c) x2 + 7x + 6 d) x2 – 7x + 6
e) x2 + 5x – 6 f) x2 – 5x – 6 g) x2 + x – 6 h) x2 – x – 6
ı) x2 – 7x – 18 i) x4 – x2 – 30 k) m2 – 6m – 27 l) x2 – 3xy – 10y2
m) -x2 – 2x + 3 n) x2 – 13x + 30 o) x2 + 2y2- 3xy
9) ax2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarina Ayirma : ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q) mx p nx q (mx.q + nx.q = bx oluyorsa)
16) 6×2 + 7x – 3 = (3x – 1) (2x + 3) olur.
3x – 1 (3x . 3 – 1. 2x = 9x – 2x = 7x olduğundan)
2x + 3
17) a) 3×2 – 2x – 8 b) 3×2 – 7x + 2 c) 2m2 + 5mn – 12n2
d) 8a2 – 2ab – b e) 4×2 + 21x + 5 f) 36a2 – 33ab – 20b2
g) 4m2 + 11m – 3 h) 6a2 + 5a – 6 ı) 12a2 – 8ab – 15b2
i) 2m2 – 10m + 12 k) 3×2 + 3x – 18 l) 3 n2 + 30n + 48
18) a2 + 2ab + b2 = 3 ve c2 + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ?
c2 + 2ac + 2bc = 6 T.T.T
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9 Ç = {-3, 3}
19) 91) x = 4 , y = 2 ise, x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?
a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256
x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32
20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10
a + b yerine ab yazılırsa
(a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur. a .b = y diyelim.
y2 – 2y – 24 = 0 y – 6) (y + 4) = 0 y = – 4 ve y = 6
21) ise, C = 8
olur. (özdeşlikte yerine yazalim )
22) ise; C = 36
olur. (özdeşlikte yerine yazalim )
23) ise; C = 12
olur. (yerine yazalım )
24) işleminin sonucu kaçtir?
123 =153 – 30 ve 183 =153 + 30 yazılırsa
=153 olur
5.116 views
