Cevap :
SORU: A- ( B U C ) = (A-B ) ∩ ( A-C ) eşitliğinin doğruluğunu gösterelim.
ÇÖZÜM: A-(B U C) = A∩ (B U C) '
= A ∩( B ∩ C' ) (A-B = A ∩ B' olduğundan)
= (A ∩ A) ∩ (B' ∩ C') ( De morgan kuralı )
= (A ∩ B') ∩ (A ∩ C') ( Tek kuvvet özeliği )
= (A-B) ∩ (A-C) bulunur. (kesişim işlemi birleşme özeliği)
SORU: ( A-B )' kümesinin A' U B kümesine eşit olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM: ( A - B )' = ( A ∩ B' )'
= A' U ( B' )' ( ( A - B ) = A ∩ B' idi )
= A' U B Olur. ( De morgan kuralı )
= ( A - B )' = A' U B Olur.
SORU: A ve B iki kümedir. s( A ) = 2 . s( B ) , s( A - B ) = 10 ve A ∩ B kümesinin Alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,B kümesinin eleman sayısını bulalım .
ÇÖZÜM : A ∩ B kümesinin alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,
2n = 64 = 26 Þ n = 6 bulunur. = 10 + 6 = 16 olur.
s( A ∩ B ) = 6 olur. s( A ) = 2 . s ( B )
s( A ) = s( A – B ) + s ( A ∩ B ) 16 = 2 . s( B ) Þ s( B ) = 8 bulunur.
SORU: s( A ) = 10 , s( B ) = 9 , s ( A U B ) = 15 ise s ( A - B )’yi bulalım
ÇÖZÜM : s( A ∩ B ) = x olsun A B
s( A U B ) = s( A ) + s( B ) -s( A ∩ B )
15 = 10 + 9 – x
x = 4 olur.
s( A – B ) = s( A ) – s( A ∩ B )
= 10 – 4 = 6 olur.
SORU: Bir turist gurubu Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşmuştur. Grubun % 60’ı almanca, % 80’ni ingilizce biliyor.Grupta her iki dili konuşan 8 kişi vardır. Bu turist grubunda kaç kişi vardır?
ÇÖZÜM: Grubu 100 kişi kabul edelim
s( A U İ ) = s( A ) + s( İ ) - s( A ∩ İ ) 40 8 kişi karşılık gelirse
100 = 60 + 80 - s( A ∩ İ ) 100 X kişi karşılık gelir.
Þ s( A ∩ İ ) = 40 x = 100 ٠ 8 = 20
40
SORU: İngizce veya Almanca dillerinden en az birinin bilindiği 34 kişilik bir turist grubunda sadece İngilizce bilenlerin sayısı, her iki dili bilenlerin 4 katından 1 fazladır. Bu grupta İngilizce bilen en fazla kaç kişi vardır?
ÇÖZÜM: A X + Y + Z = 34
X = 4Y + 1
X + Y + Z = 4Y + 1 + Y + Z = 5Y + Z + 1 = 34
5Y=33-Z Z en küçük olduğunda ingilizce
bilenler en fazla olur.O halde Z=3 olmalıdır.
Z = 3 Þ 5Y = 33 - 2 = 33 - 3 = 30 Þ Y = 0
En fazla İngilizce bilenlerin sayısı : X + Y = 4Y + 1 + Y = 5Y + 1 = 5٠6 + 1 = 31’dir.
SORU : 40 kişik bir grupta, 8 kişi futbol ve basketbol oynamaktadır.30 kişi bu oyunlardan en az birini oynamaktadır. Futbol oynayanların sayısı basketbol oynayanların sayısından 6 fazladır. Bu grupta futbol oynamayan kaç kişi vardır.
ÇÖZÜM :
Grup x + y + z + t = 40 kişi
Futbol ve Basketbol oynayan y = 8 kişi
Futbol ve Baketboldan en az birini oynayanlar x + y + z = 30kişi
Futbol oynayanlar (x + y ) basketbol oynayanlardan
( y + 2 ) den 6 fazladır.
X + Y = Y + Z + 6 Þ X - Z = 6 X + Y + Z + t = 40 Þ t = 10
X + Y + Z = X + 8 + Z = 30 Þ X + Z = 22 futbol oynamayan
X – Z = 6 Þ Z = 8 Z + t = 8 + 10 =18 kişidir.
X + Z = 22
SORU : P( X , Y ) : 2x - 3Y < 5 açık önermesinin P( - 2 , 1 ) için doğruluk değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM: 2x - 3Y < 5 açık önermesinde , x = - 2 ve Y = 1 yazalım.
2 ( - 2 ) – 3 . 1 < 5 Þ - 4 – 3 < 5 Þ - 7 < 5 doğru olduğundan
P( X , Y ) açık önermesinin doğruluk değerleri 1 dir.
SORU : ( A I B' ) U ( A I B ) ifadesini en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A I B' ) U ( A I B ) = A I ( B' U B )
= A I E
= A' olur.
SORU: A - ( B I C ) = ( A – B ) U ( A – C ) olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM: A - ( B I C ) = A I ( B I C )'
= A I ( B' U C' )
= ( A I B' ) U ( A I C' )
=(A – B) U (A – C) olur.
SORU: ( A U B ) - ( A – B ) kümesini en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A U B ) - ( A - B ) = ( A U B ) I ( A I B' )' ( C - D ) = (C I D' )
= ( A U B ) I ( A' U B ) ( De morgan )
= ( A I A' ) U B ( A I A' = Æ )
= B ( B U Æ = B )
SORU: ( A I B' ) U ( A U B' ) = B - A olduğunu gösterelim.
.
SORU 1: s(A)=8.s(B) s(AUB)+s(A B)=108 ise s(A)=?
CEVAP 1: s(AUB)=s(A)+s(B)-s(A B)
s(AUB)+s(A B)= s(A)+ s(B)
108=8.s(B)+ s(B)
s(A)= 8.s(B)=8.12=96
SORU 2: BİR SINIFTAKİ ÖĞRENCİLERİN %70 i BİLGİSAYAR KULLANABİLMEKTE %60 ı İSE İNGİLİZCE KONUŞABİLMEKTEDİR.BU SINIFTA BİLGİSAYAR KULLANABİLEN VE İNGİLİZCE KONUŞABİLEN 9 ÖĞRENCİ BULUNMAKTADIR.
BUNA GÖRE,BU SINIFTA KAÇ ÖĞRENCİ VARDIR?
CEVAP 2:SINIF=100x OLSUN
A=BİLGİSYAR=70x
B=İNGİLİZCE=60x
s(AUB)= s(A)+ s(B)-s(A B)
100x=70x+60x- s(A B)
30x= s(A B)
30x=9 10x=3 sınıf=100x=30
SORU:3 A= a,b(1,2),3 B= 1,2,a,(b) KÜMELERİ VERİLİYOR.BUNA GÖRE A B KÜMESİNİN KAÇ ALT KÜMESİ VARDIR?
CEVAP 3: s(A B)=1
A B s(B) EN AZ 3 OLUR.
SORU 4: 3 ELEMANLI ALT KÜMELERİNİN SAYISI 5 ELEMANLI ALT KÜMELERİNİN SAYISINA EŞİT OLAN BİR KÜMENİN 2 ELEMANLI ALT KÜMELERİNİN SAYISI KAÇTIR?
CEVAP 4: OLDUĞUNDAN n=3+5=8 28
SORU 5: A= İ,S,T,A,N,B,U,L KÜMESİNİN 2 ELEMANLI ALT KÜMELERİNİN KAÇ TANESİNDE S BULUNUR,AMA T BULUNMAZ?
CEVAP 5: s(A)=8 T Yİ ATIP,S Yİ KÜMENİN BİR ELEMANI OLARAK SABİTLERSEK GERİYE 6 ELEMAN KALIR.6 ELEMANLI BİR KÜMENİN ALT KÜMELERİNİN SAYISI=64 TÜR.
SORU 6: 1,2,3,4,5,6 KÜMESİNİN 2 ELEMANLI ALT KÜMELERİNİN KAÇ TANESİNDE 1 BULUNUR,AMA 6 BULUNMAZ?
CEVAP 6: s(A)=6 6 YI ATIP 1İ KÜMENİN BİR ELEMANI OLARAK SABİTLERSEK GERİYE KALAN 4 ELEMANDAN 1 ELEMANDAN SEÇMEMİZ GEREKİR.
4 TÜR.
SORU 7: BİR SINIFTAKİ MATEMATİK DERSİNDEN BAŞARILI OLANLARIN SAYISI; FİZİK DERSİNDEN BAŞARILI OLANLARIN SAYISINDAN 6 EKSİK,MATEMATİK VE FİZİK DERSİNDEN BAŞARILI OLANLARIN SAYISINDAN 7 FAZLADIR.
BUNA GÖRE,BU SINIFTA SADECE FİZİK DERSİNDEN BAŞARILI OLAN KAÇ ÖĞRENCİ BULUNMAKTADIR?
CEVAP 7:
M F s(F\M)=13
SORU 8: 50 KİŞİLİK BİR SINIFTA 35 ÖĞRENCİ MATEMATİKTEN,25 ÖĞRENCİ DE FİZİKTEN BAŞARILI ALMUŞTUR.
BUNA GÖRE,BU SINIFTA HER İKİ DERSTEN DE BAŞARILI OLANLAR,HİÇ BİR DERSTEN BAŞARILI OLAMAYANLARDAN KAÇ FAZLADIR?
CEVAP 8: a+b=35 a+2b+c=60 b-d=10 olur.
b+c=25 + = a+b+c+d=50 =
SORU 9: 63 KİŞİLİK BİR GRUPTAKİ KİŞİLERİN BAZILARI GÖZLÜKLÜ,BAZILARI GÖZLÜKSÜZ,BAZILARI ELA GÖZLÜ,BAZILARI DA YEŞİL GÖZLÜDÜR.
BU GRUPTA 20 KİŞİ ELA GÖZLÜ VE GÖZLÜKLÜ,28KİŞİ GÖZLÜKSÜZ,33 KİŞİ YEŞİL GÖZLÜ OLDUĞUNA GÖRE,YEŞİL GÖZLÜ VE GÖZLÜKSÜZ KAÇ KİŞİ VARDIR?
CEVAP 9: a+b+c+d=63 33+20+d=63 ise d=10 b+d=28 b+10=28 b=18
SORU 10: A= 1,2,3,4,5,6 B= 1,3,5,7,9 s(A-B) KAÇTIR?
CEVAP 10:
A-B= 2,4,6 s(A-B)=3
SORU 11: s(A)=5 s(B)=6 s(A B)=2 s(B-A)?
CEVAP 11:
A
B s(B-A)=4
SORU 12: s(A)=2s(B) s(A-B)=10 A B KÜMESİNİN ALT KÜMELERİ SAYISI 16 OLDUĞUNA GÖRE,s(AUB)=?
CEVAP 12: A B=16 İSE ELEMAN SAYISI=4
s(A)=s(A-B)+s(A B)=14
s(B)=
s(AUB)= s(A)+ s(B)-s(A B)= 14+7-4=17 OLUR.
SORU 13: 27 KİŞİLİK BİR GRUPTAKİ ÖĞRENCİLER İNGİLİZCE VE ALMANCA DİLLERİNDEN EN AZ BİRİNİ BİLMEKTEDİR.BU SINIFAKİ ÖĞRENCİLERDEN YALNIZ İNGİLİZCE BİLENLERİN SAYISI,YALNIZ ALMANCA BİLENLERİN SAYISINA EŞİTTİR.
ALMANCA VE İNGİLİZCE BİLENLERİN SAYISI YALNIZ İNGİLİZCE BİLENLERİN SAYISINA EŞİT OLDUĞUNA GÖRE,ALMANCA BİLENLERİN SAYISI KAÇTIR?
CEVAP 13: A İ VERİLENLERE GÖRE X+X+X=27
3X=27 X=9
BUNA GÖRE ALMANCA BİLENLERİN SAYISI:
X+X=2.X=2.9=18 dir.
SORU 14: BİR SINIFTAKİ ÖĞRENCİLERİN %80 İNDE KURŞUN KALEM,%60 INDA TÜKENMEZ KALEM VARDIR.
KURŞUN KALEMİ VE TÜKENMEZ KALEMİ OLAN ÖĞRENCİLERİN SAYISI EN AZ YÜZDE KAÇTIR?
CEVAP 14:
s(TUK)=s(T)+s(K)-s(T K)
%100=%60+%80-%x İSE X=40 OLUR.
SORU 15: s(AUB)=18 s(B-A)=3 OLDUĞUNA GÖRE,A KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI KAÇTIR?
CEVAP 15: s(AUB)=s(A)+s(B-A)=18= s(A)+3
s(A)=15
SORU 16:A= a,b,c,(1,2),d KÜMELERİ VERİLİYOR.
B= a,1,2,(d),3
BUNA GÖRE,A-B KÜMESİNİN 2 ELEMANLI ALT KÜMELERİNİN SAYISI KAÇTIR?
CEVAP 16: s(A)=5 s(B)=5 TİR. s(A-B)=4 TÜR.
BUNA GÖRE,4 ELEMANLI BİR KÜMENİN 2 ELEMANLI ALT KÜMELERİNİN SAYISI:
6 dır
SORU 17: 25 KİŞİLİK BİR SINIFTAKİ ÖĞRENCİLER MATEMATİK VE FİZİK DERSLERİNDEN EN AZ BİRİNDEN BAŞARILI OLMUŞTUR.MATEMATİKTEN BAŞARILI OLANLARIN SAYISI,FİZİKTEN BAŞARILI OLANLARIN SAYISININ 4 KATIDIR.
BUNA GÖRE,SADECE MATEMATİKTEN BAŞARILI OLANLARIN SAYISI KAÇ OLABİLİR?
CEVAP 17: SADECE MATEMATİKTEN BAŞARILI OLANLARIN SAYISI: a
SADECE FİZİKTEN BAŞARILI OLANLARIN SAYISI:b
HER İKİSİNDEN DE BAŞARILI OLANLARIN SAYISI:c
M
a+b+c=25 a+c=4.(b+c)
4.(b+c)+b=25=4b+4c+b=25 b=5- c=0 (b=5 ve a=20)dir
5b+4c=25 5b=25-4c c=5 (b=1 ve a=19) dur
SORU 18:BİR SINIFTAKİ ÖĞRENCİLER,MÜZİK VE RESİM KURSLARINDAN EN AZ BİRİNE KATILMAKTADIR.12 ÖĞRENCİ MÜZİK,15 ÖĞRENCİ RSİM,8 ÖĞRENCİ DE HEM MÜZİK HEM RESİM KURSU ALDIKLARINA GÖRE,BU SINIFTA KAÇ ÖĞRENCİ VARDIR?
CEVAP 18:
s(MUR)=s(M)+s(R)-s(M R)
=12+15-8=19
SORU 19: BİR SINIFTAKİ ÖĞRENCİLER BASKETBOL,VOLEYBOL VE FUTBOL SPORLARINDAN EN AZ BİRİNİ YAPMAKTADIRLAR.10 KİŞİ BASKETBOL,12 KİŞİ VOLEYBOL,14 KİŞİ DE FUTBOL OYNUYOR.AYRICA 4 KİŞİ BASKETBOL VE VOLEYBOL, 5 KİŞİ BASKETBOL VE FUTBOL,3 KİŞİ DE HER ÜÇ SPORU BİRDEN YAPTIKLARINA GÖRE,BU SINIFTA KAÇ ÖĞRENCİ VARDIR?
CEVAP 19: s(B)=10 s(V)=12 s(F)=14 s(B V)=4 s(B F)=5 s(B V F)=3
s(B V F)=4+2+3+1+8+9=27
SORU 20: A VE B HERHANGİ İKİ KÜME s(A)=5,s(A B)=6 VE A\B KÜMESİNİN ÖZ ALT KÜMELERİNİN SAYISI 7 İSE B\A NIN ALT KÜMELERİ SAYISI KAÇTIR?
CEVAP 20: A\B NİN ÖZ ALT KÜME SAYISI 7 OLDUĞUNA GÖRE ELEMAN SAYISI 3TÜR.
s(A)=5 OLDUĞUNDAN 5-3=2 BİZE B\A YI VERİR.
