Cevap :
Giriş
Fonksiyon kavramı matematikte en önemli ve temel konulardan biridir. Fonksiyonlar, matematikteki çoğu kavramın tanımlanmasında ve kavramlar arası geçişin sağlanmasında birleştirici bir rol oynar. Nicelikler arasındaki ilişkileri ele alan fonksiyonel düşünme olmadan matematiği anlamanın ve değerini bilmenin mümkün olamayacağı belirlenmiştir. Fonksiyonu daha iyi kavrayabilmek için aşağıdaki örneği dikkatle inceleyelim.
Fiyatı 5 TL olan kalemden x tane aldığımızda ödeyeceğimiz paraya y denirse;
yazılabilir. Burada ödenen paranın aldığımız kalem miktarına bağlı olduğu açıktır. Satın alınan kalem miktarı değiştikçe ödenecek para da değişecektir. İşte bu durumda ödenecek para alınan kalem miktarının (sayısının) bir fonksiyonudur diyebiliriz.
Örneğin, bankada vadeli mevduat hesabına yatırılan bir miktar paranın belli bir zaman geçtikten sonraki değeri; yatırılan para miktarına, o zaman içinde geçerli olan faiz oranına ve geçen zamana göre değişecektir. Dolayısıyla paranın gelecekteki değeri; bu üç değişkene bağlıdır veya paranın gelecekteki değeri; yatırılan para miktarı, faiz oranı ve geçen sürenin bir fonksiyonudur denir. Burada paranın gelecekteki değeri olan , bağımlı değişken; yatırım miktarı , faiz oranı ve geçen zaman bağımlı değişkenlerdir.
Bir fonksiyonun bağımsız değişkenleri, fonksiyonun tanım kümesini, bağımlı değişkeni ise değer kümesini oluşturur. Bağımlı değişken sayısı tek ise tek değişkenli, birden fazla ise çok değişkenli fonksiyon oluşur. Bu bölümde tek değişkenli fonksiyonlar üzerinde durulacaktır.
3.1. Fonksiyon Tanımı
ve boş olmayan kümeler olmak üzere, kümesinin her elemanını, kümesinin yalnız ve yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. A kümesinin tüm elemanlarını temsil eden değişken , eşlendiği değerleri kapsayan kümesinin elemanlarını temsil eden değişken de olarak tanımlanırsa, kümesinden kümesine tanımlanan fonksiyon şeklinde gösterilir.
kümesi fonksiyonunun “Tanım Kümesi ”,
kümesi ise fonksiyonunun “Değer Kümesi” ,
kümesinin tüm elemanlarının, fonksiyonuna göre, kümesinde eşlendiği elemanların oluşturduğu kümeye ise “görüntü kümesi ” denir.
Şekil 3.1: Fonksiyon Tanımı
ve kümeleri verilmiş olsun. ’dan ’ye tanımlanmış olan bağıntısının fonksiyon olabilmesi için,
’daki her elemanın altında bir görüntüsü olmalı,
’daki her elemanın altında bir ve yalnız bir tek görüntüsü olmalıdır.
Örneğin, olarak tanımlanan bir bağıntısı ’dan ’ye bir fonksiyon oluşturmaktadır. Çünkü kümesinin bütün elemanlarının altında bir görüntüsü bulunmakta ve kümesinin her elemanı kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleşmektedir.
Şekil 3.2: Birebir Fonksiyon
Örnek:
A={ 1, 2, 3 , 4 }
f (x) = y = 2x + 1 ise [f ()] görüntü kümesi nedir?
Çözüm:
f (1) = 2.1. + 1 = 3
f (2) = 2.2 + 1 = 5
f (3) = 2.3 + 1 = 7
f (4) = 2.4 + 1 = 9
3.2. Fonksiyon Türleri
3.2.1. İçine Fonksiyon
fonksiyonunda ise, yani tanım kümesinde boş elemanlar kalıyorsa ; içine fonksiyondur.
(B değer kümesinde boş elemanlar kalıyor.)
Şekil 3.3: İçine Fonksiyon
3.2.2. Örten Fonksiyon
fonksiyonunda değer kümesinde eşlenmeyen (boşta) eleman kalmıyorsa fonksiyonu örten fonksiyondur.
Şekil 3.4: Örten fonksiyon
3.2.3. Bire-Bir Fonksiyon
fonksiyonu için, tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima farklı ise f fonksiyonuna “bire-bir fonksiyon” denir.
Şekil 3.5: Bire-bir Fonksiyon
Not: Grafiği verilen bir fonksiyonun bire-bir olup olmadığını anlamak için, eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir değildir.
Örnek: Aşağıda verilen grafiklerin ilk ikisi fonksiyon altta kalan diğer ikisi ise fonksiyon değildirler.
Şekil 3.6: Fonksiyon Tanımına Uygun Olup Olmama
3.2.4. Birim Fonksiyon
fonksiyonunda, fonksiyonunu kümesinin her elemanını tekrar kendisine eşliyorsa fonksiyonuna “birim fonksiyon” denir.
Birim fonksiyon “” (identity function) ile gösterilir.
Şekil 3.7: Birim Fonksiyon Grafiği
Yukarıdaki grafikte de görüldüğü gibi, tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde yine kendine eşlenmiştir. O hâlde, doğrusu birim fonksiyonun grafiğidir.
Birim fonksiyonun tanım kümesi değer kümesine eşittir.
birim fonksiyon ise,
3.2.5. Sabit Fonksiyon
fonksiyonu için, kümesinin bütün elemanlar, kümesinin sadece bir elemanı ile eşleniyorsa, fonksiyonu “sabit fonksiyon” dur.
Şekil 3.8: Sabit Fonksiyon
3.3. Fonksiyonla İşlemler
olmak üzere ;
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
3.3.1. Bir Fonksiyonun Tersi
fonksiyonu ’dan ’ye bire-bir örten bir fonksiyon ise; fonksiyonuna ’nin ters fonksiyonu denir.
Şekil 3.9: Ters Fonksiyonun Gösterimi
Bir fonksiyonun tersinin bulunuşu:
Bir fonksiyonun tersi bulunurken, x yerine y, y yerine x yazılır. Oluşan denklemden y çekilir. Bulunan y fonksiyonun tersidir. ( )
Örnek:
ye olmak üzere;
fonksiyonunun tersi nedir?
Çözüm:
yerine yazılır.
Bulunan eşitlikte yerine , yerine yazılır, y yalnız bırakılır.
3.3.2. Bileşke Fonksiyon
ve fonksiyonları ile verilen fonksiyonuna ile fonksiyonuna ile fonksiyonunun bileşkesi denir, şeklinde yazılır ve “ bileşke ” şeklinde okunur.
Şekil 3.10: Bileşke fonksiyon gösterimi
Bileşke Fonksiyonun Özellikleri:
Örnek:
ve ; ’den ’ye tanımlı iki fonksiyon olsun. olduğuna göre toplamı nedir?
Çözüm:
Uygulama Soruları
1) ve ise kaçtır?
Çözüm:
2) olduğuna göre
Çözüm:
’dir.
3) olduğuna göre
Çözüm:
fonksiyonu sabit fonksiyondur. Her zaman aynı değeri alır.
’tir.
4) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi söylenemez?
a) Birebir fonksiyondur.
b) Doğrusal fonksiyondur
c) değerini alır.
d) Birim fonksiyondur.
e)
5) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur.
a) Birebir fonksiyondur.
b) İkinci dereceden fonksiyondur.
c) değerini alır.
d) Birim fonksiyondur.
e) f(x)’in tersi de bir fonksiyondur.
Bölüm Özeti
Bu bölümde, bağıntı ve fonksiyon tanımlarının ardından fonksiyon türleri üzerinde durulmuştur. Sabit fonksiyon, birebir fonksiyon, içine ve örten fonksiyon tanımları verilmiştir. Son kısımda ise bileşke fonksiyon ve ters fonksiyon anlatılmıştır
