Merhaba, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem sorusudur. Bunu çözebilmek için temelinden iki tane teorik bilgi vereceğim akabinde dört işlme yeteneklerimizi de kullanarak bu soruyu çözeceğiz.
Öncelikle [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] formatında ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemimiz olsun. Bu denklemin köklerini bulabilmek için "diskriminant alma" denen bir methoda başvururuz. Bu tarz denklemlerin diskriminantı şu formülle bulunabilir;
[tex]= b^2-4ac[/tex]
Diskriminant almadan sonra kök bulma formülüne bu değeri koymamız gerekir. Eğer ifade kolaylıkla çarpanlarına ayrılamıyorsa, denklemin köklerini bulmak için şu iki eşitliği kullanırız;
[tex]x1=\frac{-b+\sqrt{delta} }{2a} \\\\x2=\frac{-b-\sqrt{delta} }{2a}[/tex]
Lakin, bunu bulmadan da denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını bulabiliriz. Kolay yoldan ikinci dereceden bir bilinmeyenli, [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] formatındaki denklemler için geçerli olan şu iki denkliği kullanırız;
[tex]x1+x2=\frac{-b}{a}\\ \\x1.x2=\frac{c}{a}[/tex]
Bunları hatırladıktan sonra sorumuza geçelim. Sorumuzdaki denklemin kökleri [tex]a[/tex] ve [tex]b[/tex] olmaktadır. Eğer çarpanları şeklinde yazsaydık, denklemi şöyle kurabilirdik;
[tex](x-a)(x-b)=x^2+4x-3m-1[/tex]
Ek olarak bize şu eşitlik de verilmiş: [tex]a^2+5a+b=12[/tex]
O halde, [tex]a[/tex] ve [tex]b[/tex] değerleri için iki eşitlik yazılabilir:
[tex]a^2+4a-3m-1=b^2+4b-3m-1=0[/tex]
Bu iki kökün toplamlarını ve çarpımlarını biliyoruz. Yukarıda verdiğim bilgiyi kullanarak bulalım.
[tex]a+b=\frac{-b}{a} =-4\\\\a.b=\frac{c}{a}=-3m-1[/tex]
O zaman iki bilinmeyeni tek bilinmeyene dönüştürüp soruyu çözelim.
[tex]a[/tex] yerine [tex]-4-b[/tex] yazılabilir.
[tex](-4-b)^{2}+5(-4-b)+b=12\\\\b=-2-2\sqrt{5} \\b=-2+2\sqrt{5}[/tex]
olarak bulunur. O zaman diğer kökü de bulalım ve bunları çarparak m sayısını bulalım.
[tex]a+b=-4\\\\a+(-2-2\sqrt{5} )=-4\\a=-2+2\sqrt{5} \\\\\\\\a+b=-4\\\\a+(-2+2\sqrt{5} )=-4\\a=-2-2\sqrt{5}[/tex]
Bu denklemin sanal kökleri varmış. O zaman ek bir bilgi olarak bu denklemin diskriminant değerinin [tex]D < 0[/tex] olduğunu da söyleyebiliriz. Devam edelim soruya.
[tex]a.b=\frac{c}{a} \\\\(-2-2\sqrt{5} ).(-2+2\sqrt{5} ) = -16\\\\\\\frac{-3m-1}{1}=-16\\ \\-3m=-15\\m=5[/tex]
olarak bulunur. Sorumuzun cevabı 5 olmalıdır. Başarılar dilerim!