Hasretclk2503
Cevaplandı

x² + mx + n² = 0
denkleminde m ve n yerine rastgele birer rakam yazılıyor.
Buna göre, denklemin gerçel kökünün olma olasılığı kaçtır?​

Cevap :

Belalimod

Merhaba, öncelikle soruda verilenleri anlamaya çalışalım.

Bize, ikinci dereceden, [tex]x[/tex] değişkenine bağlı bir bilinmeyenli denklem verilmiş. Katsayıları henüz bilmiyoruz. Bu bilinmeyenler yerine konulabilecek sayıların kümesi de tanımlanmış.

[tex]m,n[/tex] ∈ [tex](0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)[/tex]

HATIRLATMA!

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kökleri hakkında fikir edinmemizi sağlayan olgu "diskriminasyon" işlemidir.

[tex]ax^2+bx+c=0[/tex] formatındaki ikinci dereceden, bir bilinmeyenli denklemlerin diskriminant (Δ) formülü aşağıda verilmiştir;

Δ = [tex]b^2-4ac[/tex]

Şayet delta (Δ) durumuna göre 3 olgu vardır.

  1. Eğer Δ [tex]< 0[/tex] ise denklemin reel sayılarda çözümü yoktur.
  2. Eğer Δ [tex]=0[/tex] ise denklemin çakışık iki kökü vardır.
  3. Eğer Δ [tex]> 0[/tex] ise denklemin birbirinden farklı iki kökü vardır.

Çözüm:

Verilen denklemin diskriminantını inceleyeceğiz.

Δ = [tex]b^2-4ac=m^2-4(n^2)[/tex]

Şayet Δ [tex]< 0[/tex] olan durumlar dışındaki her durum, istediğimiz durum olacaktır. Bu olgu, gerçel köklerimizi var edeceğinden çözüme devam edelim.

Ayrıca soruda [tex]m[/tex] ve [tex]n[/tex] sayısı birbirinden farklı denmemiş buna dikkat edelim!

[tex]m < n[/tex] olan durumları başta eleyebiliriz çünkü diskriminant formülümüzde [tex]n[/tex] sayısı, [tex]m[/tex] sayısından hızlı büyüdüğünden, bunların karesinde de aynı durum olacaktır.

[tex]m^2-4n^2\geq 0\\\\m^2\geq 4n^2\\\\\sqrt{m^2}\geq \sqrt{4n^2}\\ \\ m\geq 2n[/tex]

Son durumda, [tex]m[/tex] sayısının, [tex]2n[/tex] sayısına eşit ya da ondan büyük olması gerektiğini bulduk ki gerçel çözümümüz olsun. Bunu sağlayan değerler çifti ise aşağıda verilmiştir;

[tex]n=0;\\(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(7,0),(8,0),(9,0)\\\\n=1;\\(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(7,1),(8,1),(9,1)\\\\n=2;\\(4,2),(5,2),(6,2),(7,2),(8,2),(9,2)\\\\n=3;\\(6,3),(7,3),(8,3),(9,3)\\\\n=4;\\(8,4),(9,4)[/tex]

[tex]n=5[/tex] için [tex]m[/tex] sayısı rakam olamayacağından, olabilecek tüm durumlarımız bunlardır. Toplamda [tex]30[/tex] adet ihtimalimiz var. Tüm durum içinse şunu uygulayabiliriz;

[tex]m[/tex] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 adet sayı

[tex]n=[/tex] {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = 10 adet sayı

[tex]Toplam=10.10=100[/tex] durum.

Olasılık bağıntısı şöyle yazılabilir;

[tex]P=\frac{istenilen}{hepsi}[/tex]

O halde cevabımız;

[tex]P=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}=[/tex] %30 olarak bulunur. Başarılar dilerim!

Şeyma

Bilgi:

Bir denklemin gerçek kökü varsa ∆ (deltası) sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.

∆ (delta) sıfırdan küçükse denklemde reel kök yok demektir.

Deltayı nasıl buluruz?

  • ax²+bx+c = 0

şeklinde yazılan bir denklemin deltası:

  • ∆ = b²-4ac

formülü ile bulunmaktadır.

...

Soruya geçelim.

Denklem: x²+mx+n² = 0

∆ = m²-4n²

Çarpanlara ayırabiliriz. Bunun için iki kare farkı formülünü kullanacağız.

İki kare farkı formülü:

  • a²-b² = (a+b).(a-b)

O hâlde m²-4n² = (m+2n).(m-2n)

Deltayı bulduk. Daha sonrasında ne yapacağımızı düşünelim.

m ve n değerleri için rastgele rakamlar yazılıyor.

  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ve bizden denklemin gerçek kökü olma olasılığı soruluyor.

Olasılık bulunurken paydaya tüm ihtimalleri yazarız, paya ise yalnızca istenen ihtimali yazarız.

m ve n için 10 rakam arasından değer seçtiğimizde tüm ihtimaller:

m için: 10 ihtimal

n için: 10 ihtimal

m, n sıralı ikilisi için: 10×10 = 100 ihtimal

O halde paydaya 100 yazacağız.

Şimdi bizden isteneni bulmalıyız: Gerçek kök olma ihtimali.

  • (m+2n).(m-2n) ≥ 0

Bu eşitliği sağlayan kaç tane (m, n) sıralı ikilisi olduğunu bulalım.

(m+2n) toplamı m ve n sıfır olduğu durum dışında hep pozitiftir.

O halde asıl dikkat etmemiz gereken çarpan: (m-2n)

(m-2n) çarpanını sıfır veya sıfırdan büyük yapan m ve n değerlerini bulalım.

m-2n ≥ 0

m ≥ 2n eşitliğini sağlayacak sıralı ikililer:

m = 0 için n = 0

  • (0, 0)

m = 1 için n = 0

  • (1, 0)

m = 2 için n = 0, 1

  • (2, 0) , (2, 1)

m = 3 için n = 0, 1

  • (3, 0) ve (3, 1)

m = 4 için n = 0, 1, 2

  • (4, 0) , (4, 1) , (4, 2)

m = 5 için n = 0, 1, 2

  • (5, 0) , (5, 1) , (5, 2)

m = 6 için n = 0, 1, 2, 3

  • (6, 0) , (6, 1) , (6, 2) , (6, 3)

m = 7 için n = 0, 1, 2, 3

  • (7, 0) , (7, 1) , (7, 2) , (7, 3)

m = 8 için n = 0, 1, 2, 3, 4

  • (8, 0) , (8, 1) ,(8, 2) , (8, 3) , (8, 4)

m = 9 için n = 0, 1, 2, 3, 4

  • (9, 0) , (9, 1) , (9, 2) , (9, 3) , (9, 4)

Toplamda 30 sıralı ikili bulduk.

İstenen ihtimal: 30

Tüm ihtimaller: 100

Olasılığımız: [tex] \frac{30}{100} [/tex] olarak bulunur.

İyi çalışmalar.