Verilen üslü ifadeleri şu şekilde yazabiliriz.
[tex]3^{x + 1} = 3 * 3^{x}[/tex]
[tex]3^{-x + 1} = \frac{3}{3^{x} }[/tex]
Şimdi bunları denklemde yerine yazalım.
[tex]3 * 3^{x} - 3 = \frac{3}{3^{x} } + 3[/tex]
[tex]3 * 3^{x} - 6 = \frac{3}{3^{x} }[/tex]
[tex]3 * 3^{2x} - 6 * 3^{x}= 3[/tex]
[tex]3 * 3^{2x} - 6 * 3^{x} - 3 = 0[/tex]
Bu denklemi daha kolay bir şekilde çözebilmek için üslü ifadeleri başka bir değişken ile değiştirelim.
[tex]3^{x} = u[/tex]
[tex]3^{2x} = u^{2}[/tex]
Şimdi elimizde şöyle bir denklem var.
[tex]3 * u^{2} - 6 * u - 3 = 0[/tex]
Denklemdeki u değişkenin köklerini bulalım.
[tex]3 * (u^{2} - 2 * u - 1) = 0[/tex]
[tex]u^{2} - 2 * u - 1 = 0[/tex]
Diskriminant uygulayalım. ([tex]a = 1, b = -2, c = -1[/tex])
[tex]delta = b^2 - 4 * a * c[/tex]
[tex]delta = (-2)^2 -4 * 1 * (-1)[/tex]
[tex]delta = 4 + 4[/tex]
[tex]delta = 8[/tex]
Birinci kök:
[tex]u_{1} = \frac{-b + \sqrt{delta} }{2 * a}[/tex]
[tex]u_{1} = \frac{-(-2) + \sqrt{8} }{2 * 1}[/tex]
[tex]u_{1} = 1 + \sqrt{2}[/tex]
İkinci kök:
[tex]u_{2} = \frac{-b - \sqrt{delta} }{2 * a}[/tex]
[tex]u_{2} = \frac{-(-2) - \sqrt{8} }{2 * 1}[/tex]
[tex]u_{2} = 1 - \sqrt{2}[/tex]
Kökleri denklemde yerine koyduğumuzda birinci kök eşitliği sağlarken ikinci kök eşitliği sağlamaz. Bu yüzden birinci kök ile devam ediyoruz.
u değerini bulduğumuza göre artık [tex]3^x[/tex] değerini de bulmuş olduk.
[tex]3^x = u = 1 + \sqrt{2}[/tex]
Soruda bizden istenen şey [tex]a^2[/tex] değerini bulmak.
[tex]a = 3 * 3^x - 3[/tex]
Buna göre, [tex]3^x[/tex] yerine [tex]1 + \sqrt{2}[/tex] yazalım.
[tex]a = 3 * (1 + \sqrt{2} ) - 3[/tex]
[tex]a = 3 + 3 \sqrt{2} - 3[/tex]
[tex]a = 3\sqrt{2}[/tex]
Son olarak a değerinin karesini alalım.
[tex]a^{2} = (3\sqrt{2} )^2[/tex]
[tex]a^2 = 3\sqrt{2} * 3\sqrt{2}[/tex]
[tex]a^2 = 18[/tex]
