Cevap: Fatih
> Merhaba,
> Soruya baktığımızda aslında kesirlerde sıralama olduğunu anlıyoruz.
> Kesirlerde sıralamaları üç farklı yöntemle yapabiliyorduk.
> Eğer kesirlerin paydaları eşitse payların sıralanışı bize kesirlerin sıralanışını veriyordu. Örneğin:
[tex]\frac{4}{6} > \frac{3}{6} > \frac{2}{6}[/tex]
> Paydalarımız eşit değilse paydalarımızı eşitleyerek de sıralama yapabiliriz. Örneğin:
[tex]\frac{1}{2},\frac{3}{4}, \frac{5}{8}[/tex] kesirlerini sıralayalım. Sıralama için paydalara bakıyoruz ve kolayca eşitleyebiliriz. İlk kesrin payını ve paydasının 4 ile çarpalım, ikinci kesrin payını ve paydasını 2 ile çarpalım ve son olarak üçüncü kesrin payını ve paydasını 1 ile çarpalım.
[tex]\frac{1x4}{2x4},\frac{3x2}{4x2}, \frac{5x1}{8x1}=\frac{4}{8}, \frac{6}{8}, \frac{5}{8}[/tex] şeklinde paydaları eşitlemiş olduk. Şimdi kolayca paydaları eşit olan kesirleri sıralama yöntemini uygulayabiliriz.
[tex]\frac{4}{8} < \frac{5}{8} < \frac{6}{8} = \frac{1}{2} < \frac{5}{8} < \frac{3}{4}[/tex] sıralamasını elde ederiz.
> Eğer paylar eşitse paydası küçük olan kesir en büyük kesir oluyordu. Buna da bir örnek verecek olursak:
[tex]\frac{3}{5} < \frac{3}{7} < \frac{3}{9}[/tex]
> Son olarak payı ve paydası eşit olmayan kesirlerde bütüne veya yarıma yakınlıklarına bakarak karşılaştırma yapabiliriz.
> Elimizde 3 tane kesir olsun. Bu 3 kesirden bütüne en yakın olan kesir en büyük kesrimiz olur. Bir örnek verelim.
[tex]\frac{3}{4} ,\frac{4}{5}, \frac{5}{6}[/tex] kesirlerini bütüne yakınlıklarına göre sıralayalım. Gördüğümüz üzere üç kesir de bütüne oldukça yakındır. Bu kesirlerin bütüne ne kadar yakın olduklarını bulalım.
> Birinci kesrimize [tex]\frac{1}{4}[/tex] eklersek bütün olur.
> İkinci kesrimize [tex]\frac{1}{5}[/tex] eklersek bütün olur.
> Üçüncü kesrimize [tex]\frac{1}{6}[/tex] eklersek bütün olur.
> Bu üç kesre eklediğimiz kesirlerin sıralamasına bakarsak hangisinin daha büyük, küçük olduğunu görebiliriz.
> Bu üç kesrin de payları eşit olduğu için paydası büyük olan kesir en büyük kesirdi. O zaman:
[tex]\frac{1}{4} > \frac{1}{5} > \frac{1}{6}[/tex] olur. Bu sonuca bakarak birinci kesrin bütün olması için daha büyük bir parçaya ihtiyacı olduğunu görürüz. Aynı şekilde sıralarsak ikinci kesir de ikinci büyük parçaya ihtiyacı var. Bütün olmak için en az parçaya ihtiyacı olan kesir üçüncü kesir olduğu için bütüne en yakın kesir üçüncü kesir olur.
> Bu bilgilere bakarak sıralamamızı elde edecek olursak:
> [tex]\frac{3}{4} < \frac{4}{5} < \frac{5}{6}[/tex]
> Yarıma yakınlığı ise yine bütüne yakınlık şeklinde yaparak bulabiliriz.
> Şimdi gerekli bilgileri elde ettikten sonra sorumuza geçebiliriz.
> Sorudaki kesirlere baktığımızda bütün yöntemlerle yapabileceğimizi görürüz. Ancak biz kolay yoldan çözüme ulaştıracak olan iki yöntemle sorumuza yaklaşalım. Birincisi payları eşitleyip sıralama yapmak, ikincisi ise yarıma yakınlığa bakmak.
> Bu soruda payları eşitleyebiliriz çünkü 3 ve 5'in 15'in ortak böleni olduğunu biliyoruz.
> Eşitlememizi yapmak için birinci kesirde payı ve paydayı 5 ile çarpalım, ikinci kesirde payı ve paydayı 3 ile çarpalım ve üçüncü kesirde de payı ve paydayı 3 ile çarpalım.
> [tex]\frac{3x5}{7x5}, \frac{5x3}{8x3}, \frac{5x3}{12x3} = \frac{15}{35}, \frac{15}{24}, \frac{15}{36}[/tex] paylarımızı eşitlediğimizde paydası küçük olan kesrimiz en büyük kesrimiz olacaktı. O zaman kesirleri sıralayalım.
[tex]\frac{15}{24} > \frac{15}{35} > \frac{15}{36} = \frac{5}{8} > \frac{3}{7} > \frac{5}{12}[/tex] olarak sıralayabiliriz.
> Sorumuzu okuduğumuzda üç dakikada ne kadar yol gitmişler onların kesrini vermiş. En büyük kesir en çok yol kateden olacağı için bitişe en yakın yarışmacı da o olur.
> Fatih [tex]\frac{5}{8}[/tex] yol gitmiş.
> Ahmet [tex]\frac{3}{7}[/tex] yol gitmiş.
> Arda [tex]\frac{5}{12}[/tex] yol gitmiş.
> Öyleyse en çok yol giden Fatih sonra Ahmet ve son olarak Arda olur.
> Bitişe en yakın kişi Fatih'tir en uzak kişi Arda'dır.
> Soruda bize bitişe en yakın kişiyi sorduğu için Fatih bitişe en yakın kişidir.
> Şimdi soruyu yarıma yakınlık ile çözelim.
> [tex]\frac{5}{8}[/tex] kesrinin yarısı [tex]\frac{4}{8}[/tex]'dir. O zaman [tex]\frac{5}{8}[/tex] kesri yarımdan biraz büyüktür.
> [tex]\frac{3}{7}[/tex] kesrinin yarısı [tex]\frac{3,5}{7}[/tex]'dir. O zaman [tex]\frac{3}{7}[/tex] kesri yarımdan biraz küçüktür.
> [tex]\frac{5}{12}[/tex] kesrinin yarısı [tex]\frac{6}{12}[/tex]'dir. O zaman [tex]\frac{5}{12}[/tex] kesri yarımdan biraz küçüktür.
> Bu durumdan bile anlayacağımız üzere en büyük kesrimiz yine [tex]\frac{5}{8}[/tex] olur. Çünkü yarımdan büyük olan tek o kesir vardır. En büyük kesrimiz [tex]\frac{5}{8}[/tex] ise bitişe en yakın olan da buradan Fatih oluyor.
> Diğer kesirleri de sıralamak istersek [tex]\frac{3}{7}[/tex] kesri yarıma 0,5 kadar yakın iken [tex]\frac{5}{12}[/tex] kesri yarıma 1 kadar yakın. Yarıma daha yakın olanın böylece [tex]\frac{3}{7}[/tex] kesri olduğunu görürüz.
> Böylece sıralamamız:
[tex]\frac{5}{8} > \frac{3}{7} > \frac{5}{12}[/tex] olur ve bitişe en yakın kişinin Fatih olduğunu görürüz.
NOT: Soruda bize 3 dakika sonra ne durumda olacaklarını sormamış. Soruda bize zaten 3 dakikada ne kadar yol gittiklerini vermiş ve bu 3 dakikada kimin ne kadar daha yakın olduğunu sormuştur.
