Merhaba,
[tex](a+b+c)^2[/tex] cebirsel ifadesinin açınımını bilmemiz gerekmektedir. Bir mantık yürütebiliriz. Burada [tex](a+b)[/tex] ifadesine [tex]T[/tex] adında bir değişken tanımlarsak aşağıdaki forma ulaşır;
[tex](T+c)^2[/tex]
Temel özdeşlik bilgimizi kullanarak ifadeyi yazalım.
[tex](T+c)^2=T^2+2(Tc)+c^2[/tex]
Şimdi ifadede [tex]T[/tex] gördüğümüz yere başta atama yaptığımız gibi [tex](a+b)[/tex] yazarsak şuna ulaşırız;
[tex](a+b)^2+2((a+b).c)+c^2[/tex]
[tex]a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)[/tex]
Bunu hatırlattıktan sonra sorumuzdaki ifadeyi çözümlemek istersek;
[tex](a+b+2)^2=a^2+b^2+2^2+2(ab+2a+2b)[/tex]
[tex]=a^2+b^2+4+2ab+4a+4b[/tex]
İkinci terim için;
[tex](a-b-3)^2=a^2+b^2+3^2-2(a.(-b))+2(3.b)-2((-3).a)[/tex]
[tex]=a^2+b^2+9+2ab+6b+6a[/tex]
Verilen ifadeyi, sadeleştirme varsa sadeleştirelim. Eğer sadeleştirme yoksa toparlayalım;
[tex](a+b+2)^2-(a-b-3)^2[/tex]
[tex]=(a^2+b^2+4+2ab+4a+4b)-(a^2+b^2+9+2ab+6b+6a)[/tex]
[tex]=-5+4ab+10a-2b[/tex]
Ayrıca iki kare farkı özdeşliğini kullanarak da yapabiliriz. Hatırlatacak olursak;
[tex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex]
Sorumuzda [tex](a+b+2)[/tex] ifadesine [tex]x[/tex], [tex](a-b-3)[/tex] ifadesine de [tex]y[/tex] dersek;
[tex](a+b+2)^2-(a-b-3)^2=(2a-1).(2b+5)[/tex]
Dolayısıyla sorumuzun doğru cevabı C seçeneği olmalıdır. Başarılar dilerim!