Cevap: D
> Merhaba,
> Sorumuza baktığımızda çarpanlara ayırma olduğunu görüyoruz.
> Bir ifadeyi çarpanlara ayırmak için bilmemiz gereken birkaç durum var.
> İki kare farkı:
> İki ifadenin karesi varsa ve aralarında çıkarma işlemi varsa iki kare farkını kullanırız.
> Örneğin x² - y² ifadesini gördüğümüzde iki kare farkı olduğunu anlarız. İki kare farkını yaparken de sayıların toplamıyla sayıların farkını çarparız. Yani:
> x² - y² = (x+y).(x-y) şeklinde iki kare farkının çarpanlara ayrılmış halini görürüz.
> İki kare farkı dışında küp farkı da vardır ancak bu soruda ihtiyacımız olmayacak.
> Şimdi soruya bakalım.
> [tex]\frac{x^{4}+x^{2} + 1 }{x^{2} -x+1}[/tex] paydaki ifade bir şeyin karesi gibi duruyor o zaman bakalım eğer paydaki ifade x²+1 ifadesinin karesi olsaydı ne olurdu ona bakalım.
> (x²+1)² = x⁴+2x²+1 şeklinde olduğunu görürüz.
> Paya baktığımızda sadece x² fazlası olduğunu görüyoruz.
> O zaman biz (x²+1)² ifadesinden x² çıkarırsak ne olur ona bakalım.
> (x²+1)² - x² = x⁴+2x²+1 - x²
> x⁴+ x²+1 olduğunu görürüz.
> İfadeye baktığımızda bunun paydaki ifadenin aynısı olduğunu görürüz.
> O zaman biz x⁴+ x²+1 ifadesi yerine (x²+1)² - x² yazabiliriz.
> Bu ifadeye baktığımızda ise iki kare farkı olduğunu görüyoruz o zaman uygulayalım.
> (x²+1+x).(x²+1-x) olarak iki kare farkını alırız.
> İfadeyi düzenleyip pay kısmına yazalım.
> [tex]\frac{(x^{2} + x + 1)(x^{2} -x+1)}{(x^{2} -x+1)}[/tex]
> İfadeye dikkatli baktığımızda paydaki x²-x + 1 ifadesiyle paydadaki x²-x + 1 ifadesinin aynı olduğunu görürüz o zaman sadeleştirme yapabiliriz.
> Geriye sadece payda x²+x + 1 ifadesi kalır.
> O zaman bize soruda verilen ifadenin en sade hali x²+x + 1 ifadesidir.
> Cevabımız D şıkkı x²+x + 1
> Başarılar.
