Cevap :
TAM SAYILAR
Eksi sonsuzdan başlayarak artı sonsuza kadar giden bütün sayılar tam sayı olarak ifade edilmektedir.(-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5) şeklinde devam eder
TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMi
Aynı işaretli sayılarda toplama işlemi yapılırken sayıların mutlak değerleri toplanır ve sayıların ortak işareti sonuca verilir.
ÖRNEK: (−5) + (−7) işleminin sonucunu bulalım.
(−5) + (−7) işleminde sayılar aynı işaretli olduğu için 5 + 7 = 12 bulunur ve ortak işaret olan − sonuca yazılır.
(−5) + (−7) = −12
ÖRNEK: (+6) + (+18) işleminin sonucunu bulalım.
(+6) + (+18) işleminde sayılar aynı işaretli olduğu için 6 + 18 = 24 bulunur ve ortak işaret olan + sonuca yazılır.
(+6) + (+18) = +24
Ters işaretli sayılarda toplama işlemi yapılırken sayıların mutlak değerleri büyük olanından küçük olanı çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca verilir.
ÖRNEK: (−15) + (+8) işleminin sonucunu bulalım.
(−15) + (+8) işleminde sayılar ters işaretli olduğu için 15 − 8 = 7 bulunur ve mutlak değerce büyük olan 15’in işaret olan − sonuca yazılır.
(−15) + (+8) = −7
ÖRNEK: (−9) + (+12) işleminin sonucunu bulalım.
Burada 12 > 9 olduğundan 12−9=3 bulunur ve 12’nin işareti olan + sonucun işareti olur.
(−9) + (+12) = +3
TAM SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
Tam sayılarla çıkarma işlemi, toplama işleminden faydalanarak yapılır.
→ A − B = C işleminde A sayısına eksilen, B sayısına çıkan, C sayısına fark denir.
→ Çıkarma işlemi yapılırken çıkan sayının işareti değiştirilir ve çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür.
→ Daha sonra toplama işlemi yapılır.
ÖRNEK: (−3) − (+2) işleminin sonucunu bulalım.
İşlemi toplama işlemine çevirmek için çıkan sayı olan +2’nin işaretini değiştiririz. Daha sonra toplama işlemi yaparız.
> (−3) − (+2)
= (−3) + (−2) *Aynı işaretli sayılarda toplamayı yukarıda öğrenmiştik
= −5
ÖRNEK: (−7) − (−5) işleminin sonucunu bulalım.
İşlemi toplama işlemine çevirmek için çıkan sayı olan −5’in işaretini değiştiririz. Daha sonra toplama işlemi yaparız.
> (−7) − (−5)
= (−7) + (+5) *Ters işaretli sayılarda toplamayı yukarıda görmüştük.
= −2
Tam sayılarla toplama işlemi yaparken toplanan sayıların yerleri değiştirildiğinde toplam yani sonuç değişmez. Tam sayılarda toplama işleminin bu özelliğine değişme özelliği denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemi inceleyecek olursak toplanan sayıların yerlerinin değişmesinin sonucu etkilemediğini görürüz.
3 + 5 = 8
5 + 3 = 8
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemde olduğu gibi toplanan sayıların yerinin değişmesi sonucu değiştirmez.
7 + (−3) = 4
(−3) + 7 = 4
TOPLAMA İŞLEMİNİN BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
Üç veya daha fazla tam sayı ile TAM SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
Tam sayılarla bölme işlemi yaparken sayıların mutlak değerleri bölünür. Sonuca aşağıdaki kurala uygun şekilde işaret konulur.
→ Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitiftir.
→ Ters işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde bölünen sayılar aynı işaretli olduğu için cevap pozitiftir.
(+15) : (+3) = +5
(−12) : (−4) = +3
21 : 7 = 3
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde bölünen sayılar ters işaretli olduğu için cevap negatiftir.
(−16) : (+4) = −4
8 : (− 2) = −4
−3 : 3 = −1
Bölme İşleminde −1’in Etkisi
Sıfırdan farklı bir tam sayı −1’e bölündüğünde sonuç sayının ters işaretlisidir.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.
15 : (−1) = −15
(−23) : (−1) = +23
İŞLEM ÖNCELİĞİ
İşlem yaparken hangi işlemi önce yapacağımızı aşağıdaki sıraya göre belirleriz:
√ Önce üs alma işlemi yapılır
√ Sonra parantez içindeki işlemler yapılır
√ Daha sonra ÇARPMA veya BÖLME işlemi yapılır
√ Son olarak TOPLAMA veya ÇIKARMA işlemi yapılır
√ Birbirine göre önceliği olmayan işlemlerde ( Çarpma ve bölmenin, toplama ve çıkarmanın birbirine göre üstünlüğü yoktur) işlem sırası soldan sağa doğru takip edilir
işlemi yaparken öncelikle hangi sayı çiftinin toplandığının işlem sonucuna bir etkisi yoktur. Tam sayılarda toplama işleminin bu özelliğine birleşme özelliği denir.
ÖRNEK: 1+2+3 işlemini yapalım. Bu işlemi yaparken önce hangi iki sayıyı topladığımız sonucu etkilemez.
( 1 + 2 ) + 3 | 1 + ( 2 + 3 )
3 + 3 = 6 | 1 + 5 = 6
Değişme ve birleşme özelliği işlem yaparken pratik yapmamıza yardımcı olabilir.
ÖRNEK: 25 + 89 + 75 işleminin sonucunu bulalım.
Bu işlemde soldan sağa doğru işlem yapmak yerine önce 25 ile 75’i toplamamız bize kolaylık sağlar.
25 + 89 + 75
= 100 + 89
= 189
ÖRNEK: −87 + (−34) + 88 işleminin sonucunu bulalım.
Bu işlemde soldan sağa doğru işlem yapmak yerine önce −87 ile 88’i toplamamız bize kolaylık sağlar.
−87 + (−34) + 88
= 1 + (−34)
= −33
TOPLAMA İŞLEMİNİN ETKİSİZ ELEMANI (BİRİM ELEMAN)
İşleme girdiğinde sonucu değiştirmeyen sayıya etkisiz eleman denir. Toplama işleminde bir sayıyı 0 (sıfır) ile topladığımızda sonuç toplanan sayı olur. Bu yüzden toplama işleminin etkisiz (birim) elemanı sıfırdır.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri incelersek bir sayı sıfır ile toplanırsa cevap sayının kendisi olduğunu görürüz.
5 + 0 = 5
−3 + 0 = −3
0 + 7 = 7
0 + (−98) = −98
TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERS ELEMAN
Bir tam sayı ile toplamı sıfıra eşit olan sayıya o tam sayının toplama işlemine göre tersi denir. Yani toplamları 0 olan iki sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.
ÖRNEK: 5 + ( −5 ) = 0 olduğu için
5’in toplama işlemine göre tersi −5’tir.
−5’in toplama işlemine göre tersi +5’tir.
ÖRNEK: Aşağıdaki sayıların toplamaya işlemine göre terslerini bulalım.
0’ın toplamaya göre tersi → 0’dır.
98’in toplamaya göre tersi → −98’dir.
−32’nin toplamaya göre tersi → +32’dir.
TAM SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken sayıların mutlak değerleri çarpılır. Sonuca aşağıdaki kurala uygun şekilde işaret konulur.
→ Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitiftir.
→ Ters işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde çarpılan sayılar aynı işaretli olduğu için cevap pozitiftir.
(+5) . (+3) = +15
(−2) . (−4) = +8
3 . 7 = 21
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde çarpılan sayılar ters işaretli olduğu için cevap negatiftir.
(−6) . (+5) = −30
8 . (−2) = −16
−3 . 3 = −9
TAM SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
Tam sayılarla bölme işlemi yaparken sayıların mutlak değerleri bölünür. Sonuca aşağıdaki kurala uygun şekilde işaret konulur.
→ Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitiftir.
→ Ters işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde bölünen sayılar aynı işaretli olduğu için cevap pozitiftir.
(+15) : (+3) = +5
(−12) : (−4) = +3
21 : 7 = 3
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemlerde bölünen sayılar ters işaretli olduğu için cevap negatiftir.
(−16) : (+4) = −4
8 : (− 2) = −4
−3 : 3 = −1
Bölme İşleminde −1’in Etkisi
Sıfırdan farklı bir tam sayı −1’e bölündüğünde sonuç sayının ters işaretlisidir.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.
15 : (−1) = −15
(−23) : (−1) = +23
İŞLEM ÖNCELİĞİ
İşlem yaparken hangi işlemi önce yapacağımızı aşağıdaki sıraya göre belirleriz:
√ Önce üs alma işlemi yapılır
√ Sonra parantez içindeki işlemler yapılır
√ Daha sonra ÇARPMA veya BÖLME işlemi yapılır
√ Son olarak TOPLAMA veya ÇIKARMA işlemi yapılır
√ Birbirine göre önceliği olmayan işlemlerde ( Çarpma ve bölmenin, toplama ve çıkarmanın birbirine göre üstünlüğü yoktur) işlem sırası soldan sağa doğru takip edilir.
Dağılma Özelliği
ÇARPMA İŞLEMİNİN DEĞİŞME ÖZELLİĞİ
Tam sayılarla çarpma işlemi yaparken çarpılan sayıların yerleri değiştirildiğinde çarpım yani sonuç değişmez. Tam sayılarda çarpma işleminin bu özelliğine değişme özelliği denir.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemi inceleyecek olursak çarpanların yerlerinin değişmesinin sonucu etkilemediğini görürüz.
3 . 5 = 15
5 . 3 = 15
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemde olduğu gibi çarpılan sayıların yerinin değişmesi sonucu değiştirmez.
7 . (−3) = −21
(−3) . 7 = −21
ÇARPMA İŞLEMİNİN BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
Üç veya daha fazla tam sayı ile çarpma işlemi yaparken öncelikle hangi sayı çiftinin çarpıldığının işlem sonucuna bir etkisi yoktur. Tam sayılarda çarpma işleminin bu özelliğine birleşme özelliği denir.
ÖRNEK: 2.3.4 işlemini yapalım. Bu işlemi yaparken önce hangi iki sayıyı çarptığımız sonucu etkilemez.
( 2 . 3 ) . 4 | 2 . ( 3 . 4 )
6 . 4 = 24 | 2 . 12 = 24
Değişme ve birleşme özelliği işlem yaparken pratik yapmamıza yardımcı olabilir.
ÖRNEK: 5 . 17 . 2 işleminin sonucunu bulalım.
Bu işlemde soldan sağa doğru işlem yapmak yerine önce 5 ile 2’yi çarpmamız bize kolaylık sağlar.
5 . 17 . 2
= 10 . 17
= 170
ÖRNEK: −34 . (−25) . 4 işleminin sonucunu bulalım.
Bu işlemde soldan sağa doğru işlem yapmak yerine önce −25 ile 4’ü çarpmamız bize kolaylık sağlar.
−34 . (−25) . 4
= −100 . (−34)
= 3400
ÇARPMA İŞLEMİNİN YUTAN ELEMANI
Hangi sayıyla işleme girerse girsin sonuç kendisi olan sayıya yutan eleman denir. Çarpma işleminde bir sayının 0 (sıfır) ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu yüzden çarpma işleminin yutan elemanı 0’dır.
ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri incelersek herhangi bir sayının 0 ile çarpımının 0 olduğunu görürüz.
91 . 0 = 0
−3 . 0 = 0
0 . 88 = 0
0 . (−47) = 0
0 . 0 = 0
ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ
Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
ÖRNEK: −5 . ( 100 + 2 ) işlemini çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapalım.
−5 . ( 100 + 2 ) işleminde parantez dışındaki çarpan olan −5’i içerideki sayılarla sırayla çarparız. Daha sonra içerideki işlem toplama olduğu için çıkan sonuçları toplarız.
−5 . ( 100 + 2 )
= (−5 . 100) + (−5 . 2)
= (−500) + (−10)
= −510
ÖRNEK: 12 . ( 50 − 7 ) işlemini çarpmanın çıkarma üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapalım.
12 . ( 50 − 7 ) işleminde parantez dışındaki çarpan olan 12’yi içerideki sayılarla sırayla çarparız. Daha sonra içerideki işlem çıkarma olduğu için çıkan sonuçları birbirinden çıkartırız.
12 . ( 50 − 7 )
= (12 . 50) − (12 . 7)
= (600) − (84)
= 516
Dağılma özelliği zihinden işlem yaparken pratik yapmamıza yardımcı olabilir.
ÖRNEK: 7 . 98 işlemini ele alalım. Bu işlemi zihinden yapabilmek için dağılma özelliğini kullanarak aklımızdan şu işlemleri yapabiliriz:
98’in 100’den iki eksik olduğunu biliyoruz.
7 . 98
= 7 . ( 100 − 2) şimdi çarpmayı çıkarma üzerine dağıtalım.
= 7 . 100 − 7 . 2
= 700 − 14
= 686 cevabını buluruz.
Üslü Sayılar
TAM SAYILARIN KUVVETLERİ
n tane a sayısının çarpımı a.a.a….a.a.a = an şeklinde gösterilir.
an sayısı a’nın n. kuvveti veya a üssü n olarak okunur. Burada a’ya taban, n’ye üs veya kuvvet denir.
Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına o sayının kuvveti denir. Bir sayıyı tekrarlı çarparak bu işlemin sonucunu bulmaya ise kuvvet alma denir.
ÖRNEK:
► 5.5.5=53
(3 tane 5’in yan yana çarpılması, 5 üssü 3 veya 5’in 3. kuvveti diye okunur.)
► (−7).(−7).(−7).(−7)=(−7)4
(4 tane −7’nin tekrarlı çarpımı, −7 üssü 4 veya −7’nin 4. kuvveti diye okunur.)
NOT: Bir sayının 2. kuvvetine o sayının karesi, 3. kuvvetine ise o sayının küpü denir.
ÖRNEK: 23 sayısını “2’nin küpü” olarak okuyabiliriz. 32 sayısını da “3’ün karesi” olarak okuyabiliriz.
Pozitif Sayıların Kuvvetleri
Pozitif bir sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.
72 = 49
34 = 81
Sıfırın Pozitif Kuvvetleri
Sıfırın pozitif kuvvetleri 0’a eşittir.
ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.
01 = 0
02 = 0.0 = 0
025 = 0
1’in Kuvvetleri
(−2)2 = (−2).(−2) = + 4 (üssü çift sayı olduğu için cevap pozitiftir)
(−2)3 = (−2).(−2).(−2) = −8 (üssü tek sayı olduğu için cevap negatiftir)
PARANTEZİN ÖNEMİ: Üslü sayılarda “−” sembolü parantezin içindeyse tabana dahildir. Eğer “−” sembolü parantezin dışındaysa veya parantez yoksa taban negatif değildir.
ÖRNEK: −24 ve (−2)4 arasındaki farkı inceleyelim.
► −24 işleminde taban 2’dir. Bu yüzden 2 sayısını 4 kere çarparız ve sonucun başına “−” koyarız.
−24 = − 2.2.2.2 = −16
► (−2)4 işleminde taban −2’dir. Bu yüzden −2 sayısını 4 kere çarparız.
(−2)4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = +16
Bu örnekte görüldüğü gibi iki durumun işlemi de sonucu da farklıdır.
ÖRNEK: −33 ve (−3)3 arasındaki farkı inceleyelim.
► −33 işleminde taban 3’tür. Bu yüzden 3 sayısını 3 kere çarparız ve sonucun başına “−” koyarız.
−33 = − 3.3.3 = −27
► (−3)3 işleminde taban −3’tür. Bu yüzden −3 sayısını 3 kere çarparız.
(−3)3 = (−3).(−3).(−3) = −27
Bu örnekte cevaplar aynı çıksa da işlemler farklıdır.
−1’in Kuvvetleri
−1’in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1’dir.
ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.
(−1)1453 = −1
(−1)2024 = +1
Bir Sayının Sıfırıncı Kuvveti
Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.
ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.
820 = 1
(−5)0 = 1
10’un Kuvvetleri
10’un doğal sayı kuvvetlerini bulurken üsteki sayı kadar 0 rakamı 1’in yanına yazılır.
ÖRNEK: Aşağıdaki 10’un kuvvetlerini inceleyelim.
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Yukarıda da görüldüğü gibi 10’un üzerindeki doğal sayı kaç ise 1’in yanına o kadar 0 koyarız.
1025 = 1000….000 (1’in yanına 25 tane 0 yazılır.)
1’in bütün kuvvetleri 1’dir.
ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.
11 = 1
132 = 1
Negatif Sayıların Kuvvetleri
Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
(−2)2 = (−2).(−2) = + 4 (üssü çift sayı olduğu için cevap pozitiftir)
(−2)3 = (−2).(−2).(−2) = −8 (üssü tek sayı olduğu için cevap negatiftir)
PARANTEZİN ÖNEMİ: Üslü sayılarda “−” sembolü parantezin içindeyse tabana dahildir. Eğer “−” sembolü parantezin dışındaysa veya parantez yoksa taban negatif değildir.
ÖRNEK: −24 ve (−2)4 arasındaki farkı inceleyelim.
► −24 işleminde taban 2’dir. Bu yüzden 2 sayısını 4 kere çarparız ve sonucun başına “−” koyarız.
−24 = − 2.2.2.2 = −16
► (−2)4 işleminde taban −2’dir. Bu yüzden −2 sayısını 4 kere çarparız.
(−2)4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = +16
Bu örnekte görüldüğü gibi iki durumun işlemi de sonucu da farklıdır.
ÖRNEK: −33 ve (−3)3 arasındaki farkı inceleyelim.
► −33 işleminde taban 3’tür. Bu yüzden 3 sayısını 3 kere çarparız ve sonucun başına “−” koyarız.
−33 = − 3.3.3 = −27
► (−3)3 işleminde taban −3’tür. Bu yüzden −3 sayısını 3 kere çarparız.
(−3)3 = (−3).(−3).(−3) = −27
Bu örnekte cevaplar aynı çıksa da işlemler farklıdır.
−1’in Kuvvetleri
−1’in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1’dir.
ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.
(−1)1453 = −1
(−1)2024 = +1
Bir Sayının Sıfırıncı Kuvveti
Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.
ÖRNEK: Aşağıdaki üslü ifadeleri inceleyelim.
820 = 1
(−5)0 = 1
10’un Kuvvetleri
10’un doğal sayı kuvvetlerini bulurken üsteki sayı kadar 0 rakamı 1’in yanına yazılır.
ÖRNEK: Aşağıdaki 10’un kuvvetlerini inceleyelim.
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10000
Yukarıda da görüldüğü gibi 10’un üzerindeki doğal sayı kaç ise 1’in yanına o kadar 0 koyarız.
1025 = 1000….000 (1’in yanına 25 tane 0 yazılır.)
Özetin özetini vermeye çalıştım umarım yararlı olur başarılar dilerim güzel kız :)
