Cevap :
Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:
N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 +Î R ve n Îa0, a1, a2, ….an-1, an …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.
1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2×2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R
ile gösterilir.
Örnek:
NÎP(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n kaç olmalıdır?
Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.www.matematikcifatih.tr.gg
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da³ 0 den n ³n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.
ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM
P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.
Örnek
P(x, y) = 2×2y4 – 3×3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?
Çözüm:
2×2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3×3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.
Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?
Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.
SIFIR POLİNOMU
P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.
Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.
Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.
SABİT POLİNOM
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.¹a0
0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0×0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.
Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.
Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.
İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ
Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.
n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2×2 + b1x + b0 polinomları için;
an =ÛA(x) = B(x) bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.
Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.
Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 - 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
5 = b – + 1 = -3, 0ÞA(x) = B(x) = -(2c – 3), d =
b = = -4, c = , d = dir.
POLİNOM FONKSİYONLARI
R®P : R
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +®x a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.
R®P : R
P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.®x
Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.
II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.
Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.
