Şekildeki gibi başlangıç noktaları P olan PS−→=a→ ve PT−→=b→ vektörleri verilsin. R∈PTve [SR]⊥PT olacak biçimde bir R noktası alalım. Bu durumda oluşacak olan PR−→− ne a→ nünb→ üzerine izdüşüm vektörü denir. (Aşağıdaki şeklin 3 boyutlu biçimi bu sayfanın alt kısmındadır.)Dikkat ederseniz 0<θ<π2 için (1.şekil) ||PR−→−||=||a→||.cosθ olurken, π2<θ<π için (2.şekil) ||PR−→−||=−||a→||.cosθ olur. Çünkü ikinci durumda cosθ<0 olacağından ||PR−→−||>0 yapabilmek için eşitliği − ile çarpmalıyız. O halde her iki durumuda ifade edecek
||PR−→−||=|||a→||.cosθ|
eşitliğini yazabiliriz. Genel olarak her iki eşitlikteki ||a→||.cosθ ifadesine a→ nün b→üzerine skaler izdüşümü (izdüşüm vektörünün işaretli boyu) denir. Hatırlarsak a→ ve b→ nün iç çarpımı
<a→,b→>=||a→||.||b→||.cosθ
dır. Bu eşitlikten skaler izdüşümü çekersek
||a→||.cosθ=<a→,b→>||b→||
bulunur. O halde iz düşüm vektörünün uzunluğu
||PR−→−||=∣∣∣∣∣<a→,b→>||b→||∣∣∣∣∣
olur. PR−→− nün kendisini ise b→ ile aynı yönlü birim vektörü skaler izdüşümle çarparak bulabiliriz. Yani
PR−→−=<a→,b→>||b→||.1||b→||.b→
⇒PR−→−=<a→,b→>||b→||2.b→
bulunur.
