Cevap :
ASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması:
1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların, payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür).
Örnek:
7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan, payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, bu rasyonel sayılar
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir.
2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür).
Örnek:
12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız.
Çözüm:
Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan, paydası küçük olan daha büyük olduğundan,
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz. Diğer taraftan,
şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz.
3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise,
• Şayet, rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha küçüktür.
• Şayet, rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha büyüktür.
Örnek:
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, 12/17 rasyonel sayısı, 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,
şeklinde yazabiliriz.
Örnek:
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
107/105 ile 359/357 rasyonel sayılarının her ikisi de bileşik kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 2' dir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha büyüktür. Bu nedenle, 359/357 rasyonel sayısı, 107/105 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,
dir.
4) Rasyonel sayılar, ondalık kesre çevrilerek de sıralanabilir.
Örnek:
10/11 ile 100/111 kesirlerini sıralayınız.
Çözüm:
a=10/11 olsun. O zaman, 1/a=11/10=1,1 olur.
b=100/111 olsun. O zaman, 1/b=111/100=1,11 olur.
Dolayısıyla,
dir. Buradan, b < a bulunur. Ayrıca, a > b şeklinde de yazabiliriz.
5) Rasyonel sayılar, tamsayılardan daha yoğundur. Bu nedenle, iki rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı vardır. Buna, rasyonel sayılar sıktır ya da yoğundur denir. Bundan dolayı, rasyonel sayılarda ardışıklıktan söz edilemez. İki rasyonel sayının arasında yer alan bir başka rasyonel sayı şöyle bulunabilir:
a/b ile c/d birer rasyonel sayı ve a/b < c/d ise, bu iki rasyonel sayı arasında yer alan başka bir rasyonel sayı,
şeklinde bulunabilir.
Örnek:
1/2 ile 3/5 rasyonel sayıları arasındaki rasyonel sayıyı bulunuz.
Çözüm:
bulunur. Dolayısıyla,
yazabiliriz.
6) İki rasyonel sayı arasında yer alan rasyonel sayıları bulmak için, bu iki rasyonel sayının paydaları eşitlenir.
Örnek:
Aşağıdakilerden hangisi 1/6 ile 2/5 arasında yer almaz?
a) 7/30 b) 9/30 c) 10/30 d) 11/30 e) 13/30
Çözüm:
1/6 ile 2/5 kesirlerinin paydaları 30' a eşitlenirse, 1/6=5/30 ve 2/5=12/30 olur. Dolayısıyla, 5/30 ile 12/30 arasındaki rasyonel sayılar
6/30, 7/30, 8/30, 9/30, 10/30, 11/30
dir. Buna göre, 13/30 rasyonel sayısı bu ikisi arasında bulunmaz. Doğru seçenek, (e) şıkkıdır.
Negatif Rasyonel Sayıların Sıralanması:
Rasyonel sayılar önce işaretsiz (pozitif) olarak sıralanır. Sonra da ters sıralama yapılarak, negatif değerlerin sıralaması elde edilir. Çünkü, sıralama sembollerinin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa, sıralama sembolü yön değiştirir.
Örnek:
a = -1/3 ve b = -2/7 ise, a ile b' yi sıralayınız.
Çözüm:
a ile b negatif rasyonel sayılar olduğundan, işaretsiz olarak ele almalıyız. Yani, 1/3 ile 2/7 sayılarını göz önüne alalım. Bu iki kesrin, paylarını eşitleyelim. Bu takdirde, 1/3 = 2/6 olur ve 2/7 sayısı ile birlikte göz önüne alınırsa, payları eşit olan kesirlerden, paydası küçük olan daha büyük olduğundan, 2/6 sayısı 2/7 sayısından daha büyüktür. Böylece,
olur. Rasyonel sayıların işaretlerini negatif alıp, eşitsizliğin yönünü değiştirirsek,
buluruz. Dolayısıyla, a < b dir.
Örnek:
x < 0 olmak üzere, a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Şayet x > 0 olsaydı,
olacaktı. x < 0 olduğu için,
olur.
Örnek:
ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3
e) 22/3 < x < 12
Çözüm:
Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak,
olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından,
22/3 < x < 26
bulunur. Doğru seçenek (c) şıkkıdır.
Örnek:
a=10/11, b=100/111, c=1000/1111
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999, iptal sın.)
a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a
Çözüm:
a=10/11=1/1,1
b=100/111= 1/1,11
c=1000/1111=1/1,111
payları eşit olan kesirlerin, paydası en büyük olan daha küçük olduğundan,
a > b > c olur. Doğru seçenek (a) şıkkıdır.
Örnek:
a > 0, b > 0, c > 0 ve
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992)
a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a
Çözüm:
a, b ve c pozitif sayılar olduğundan,
yazabiliriz. Buradan, a=5, b=15 ve c=10 olur. Böylece, a < c < b bulunur. Doğru seçenek (a) dır.
Örnek:
a=7/8, b=10/11, c=13/5
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
(ÖSS-1990)
a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b
Çözüm:
a ile b kesri basit bir kesirken, c bileşik kesirdir. Bu nedenle, c bileşik kesri en büyüktür. O halde, a ile b yi incelemeliyiz.
RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA Pozitif Rasyonel Sayıların Sıralanması: 1) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların, payı büyük (küçük) olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür (küçüktür). Örnek: 7/5 ile 3/5 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. Çözüm: Bu iki rasyonel sayının paydaları eşit olduğundan, payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, bu rasyonel sayılar
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralanabilir. 2) Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası küçük (büyük) olan daha büyüktür (küçüktür). Örnek: 12/25 ile 12/35 rasyonel sayılarını sıralayınız. Çözüm: Bu iki rasyonel sayının payları eşit olduğundan, paydası küçük olan daha büyük olduğundan,
şeklinde küçükten büyüğe doğru sıralayabiliriz. Diğer taraftan,
şeklinde büyükten küçüğe doğru da sıralayabiliriz. 3) Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise, • Şayet, rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha küçüktür. • Şayet, rasyonel sayılar bileşik kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha büyüktür. Örnek: 12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. Çözüm: 12/17 ile 14/19 rasyonel sayılarının her ikisi de basit kesirdir. Ayrıca, her iki kesrin payı ile paydası arasındaki fark 5' tir. Dolayısıyla, payı küçük olan daha küçüktür. Bu nedenle, 12/17 rasyonel sayısı, 14/19 rasyonel sayısından daha küçüktür. Yani,
şeklinde yazabiliriz.
