Çelebi sözcüğünün okuma yazma bilen, medrese veya eşit tahsilli kişiler için kullanıldığı bilinmektedir. Tahsilini Bursa ve Edirne Sarayı'nda tamamladı. Hocaları Amasyalı Sofi Beyazid ile Tokatlı Bicaroğlu Hamza idi.
Yıldırım Beyazid 1391'de Canik Seferi'ne oğullarını yanında götürmüş ve bunlar arasında Mehmet Çelebi de bulunmuştur. Bu sefer sırasındaAmasya Emiri, Sivas Sultanı Kadı Burhaneddin'in saldırılarına fazla karşı koyamıyacağını anlamış ve Amasya kentini Osmanlılara terk etmiştir. Kenti teslim almak için Yıldırım, oğlu Mehmet Çelebi komutasında bir orduyu Amasya'ya gönderdi. Bu genç şehzade çok yetenekli ve olgun bir şekilde kent yönetimini eline alarak asayişi sağladı. Bu muvaffakiyetinden dolayı babası onu Amasya sancak beyi olarak atadı.
1391 ile 1402 arasında bu görevde bulundu ve bu sırada devlet işlerini öğrendi. Amasya o zamanki Osmanlı devletinin doğu sınırında uç Rumiye-i Suğra eyaleti (Amasya-Tokat-Sivas bölgesi) merkezi olarak çok öneme haizdi. Bu görevi sırasında babasının Anadolu seferlerine sancak beyi olarak eyalet askeri ile katıldı. Bu seferlerde çok kere Mehmet Çelebi Osmanlı ordusunun artcı/yedek güçleri komutanlığını da yüklendi. 1402de Yıldırım Beyazid'ın Timur'a karşı seferine de böylece katılmış ve Ankara Savaşı'nda yine artcı kuvvetler komutanlığını üstlenmiştir. Bu görev nedeni ile Ankara Savaşı bozgunundan az kayıpla ve ilk önce kurtulanlar arasındaydı.
