Cevap :
A. TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, ... , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.
B. TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn
olmak üzere,
Ü a0, a1, a2, ... , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.
Ü a0, a1x, a2x2, ... , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir.
Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.
Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve
der [p(x)] ile gösterilir.
Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.
Ü a0 = a1 = a2 = ... = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.
Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = ... an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.
Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.
Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.
C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.
D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.
Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.
Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.
Herhangi bir polinomda; kat sayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.
P(ax + b) polinomunun; kat sayıları toplamı
P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.
Ü P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:'dır.
Tek dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:'dır.
E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1. Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ...
Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ...
olmak üzere,
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + ...
P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + ...
olur.
2. Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.
3. Bölme
der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,
P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur.
Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Ü der [K(x)] < der [Q(x)]
Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.
Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.
Bunun için;
1) Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2) Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
4) Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.
F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.
1. Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır.
P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
• P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan
. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.
P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,
P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.
P(b) = mb + n ... (1)
P(c) = mc + n ... (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.
Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.
Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:
N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 +Î R ve n Îa0, a1, a2, ….an-1, an …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.
1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2×2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R
ile gösterilir.
