SORU 1:
[tex]\vec{u} = (3, 4) \\
\vec{v} = (-1, 3) [/tex]
vektörleri veriliyor.
[tex]\vec{u} + \vec{v} = ?\\
\vec{u} - \vec{v} = ?[/tex]
ÇÖZÜM:
[tex]\vec{u} + \vec{v} = ((3+(-1)) , (4+3)) = (2,7)\\
\vec{u} - \vec{v} = ((3-(-1)),(4-3)) = (4,1)[/tex]
SORU 2:
[tex]\vec{u} = (1, \sqrt{3}) \\ \vec{v} = (1, 0) [/tex]
vektörleri arasındaki açı kaç derecedir?
ÇÖZÜM:
Vektörlerin skaler çarpımı iki farklı şekilde hesaplanabilir:
[tex]\ \textless \ \vec{u}, \vec{v}\ \textgreater \ = ||\vec{u}||\cdot||\vec{v}|| \cdot cos(\theta) \\
\ \textless \ \vec{u}, \vec{v}\ \textgreater \ = (u_1 \cdot v_1) + (u_2 \cdot v_2) + ... [/tex]
Verilenler yerine yazıldığında açı çözülür:
[tex]\ \textless \ \vec{u}, \vec{v}\ \textgreater \ = (1\cdot 1) + (0\cdot \sqrt{3}) = 1+0 = 1 \\\\ \ \textless \ \vec{u}, \vec{v}\ \textgreater \ = (\sqrt{1^2 + \sqrt3^2})(\sqrt{1^2 + 0^2})cos(\theta) \\ 1 = (2)(1)cos(\theta) \\ cos(\theta) = 1/2 \\\\ \theta = 60^\circ[/tex]
SORU 3:
[tex]\vec{AB} = (3, -2, 5) \\
\vec{AC} = (2, 3, 7) \\[/tex]
olduğuna göre [tex]\vec{BC} [/tex] vektörünün uzunluğunu bulunuz.
ÇÖZÜM:
[tex]\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} \\
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \\
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} \\\\
=\ \textgreater \ \vec{BC} + \vec{AB} = \vec{AC}\\
=\ \textgreater \ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} \\\\
\vec{BC} = (2,3,7) - (3,-2,5) = (2-3, 3-(-2), 7-5) = (-1,5,2)\\\\
||\vec{BC}|| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 2^2)} = \sqrt{30}[/tex]
SORU 4:
Düzlemde [tex]A(4,5)[/tex], [tex]B(0,2)[/tex] ve [tex]C(-4,11)[/tex] noktaları veriliyor. Buna göre [tex]\vec{AB}[/tex] vektörü ile aynı yönde ve [tex]\vec{AC}[/tex] vektörüyle eşit uzunlukta olan vektörün konum vektörü nedir?
ÇÖZÜM:
[tex]\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = ((0-4),(2-5)) = (-4,-3)[/tex]
Bulunan bu vektörü kendi uzunluğuna bölerek uzunluğu 1 olan ve sadece doğrultu ifade eden birim vektörünü elde edebiliriz:
[tex]\vec{u} = \frac{\vec{AB}}{||\vec{AB}||} = \frac{(-4,-3)}{\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2}} \\\\
\vec{u} = (\frac{-4}{5}, \frac{-3}{5})[/tex]
Bulunan birim vektör soruda istenen uzunlukla çarpılarak aranan vektöre ulaşılır:
[tex]\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = ((-4-4),(11-5)) = (-8,6) \\\\
||\vec{AC}|| = \sqrt{(-8)^2 + (6)^2} = 10 \\\\
=\textgreater \ 10\cdot \vec{u} = 10\cdot( \frac{-4}{5}, \frac{-3}{5} ) = (-8,-6)[/tex]
Bulunan vektörün uzunluğu gerçekten de 10 birim ve (-4,-3) yönündedir.
SORU 5:
Düzlemde, [tex]\vec{u}[/tex] vektörünün [tex]\vec{v}[/tex] vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü olan [tex]\vec{a}[/tex] vektörü ile, [tex]\vec{v}[/tex] vektörünün [tex]\vec{u}[/tex] vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü olan [tex]\vec{b}[/tex] vektörü:
[tex]\vec{a} = 2\vec{v}[/tex]
[tex]\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{u}[/tex]
[tex]||\vec{u}|| = k\cdot ||\vec{v}||[/tex]
eşitliklerini sağladığına göre k = ?
ÇÖZÜM:
[tex]\vec{w}[/tex] vektörü; herhangi [tex]\vec{u}[/tex] vektörünün, herhangi [tex]\vec{v}[/tex] vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü olmak üzere:
[tex]\vec{w} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2} \cdot \vec{v}[/tex]
şeklinde yazılır (ispatı görseldedir).
Öyleyse;
[tex]a = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{v}||^2} \cdot \vec{v} = 2\vec{v} \\\\
=\ \textgreater \ \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{v}||^2} = 2 \\\\\\
b = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2} \cdot \vec{u} = \frac{2}{3} \vec{u} \\\\
=\ \textgreater \ \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2} = \frac{2}{3} [/tex]
Şeklinde 2 denklem elde edilebilir. İlk denklemi 3'e bölersek iki denklem de eşitlenmiş olur ve böylece birlikte çözülebilir:
[tex]\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{3||\vec{v}||^2} = \frac{2}{3} [/tex]
[tex]\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{3||\vec{v}||^2} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{||\vec{u}||^2} \\\\ 3||\vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 \\\\ \sqrt{3}\cdot ||\vec{v}|| = ||\vec{u}|| \\\\ k \cdot ||\vec{v}|| = ||\vec{u}|| =\ \textgreater \ k = \sqrt{3}[/tex]
bulunur.
