Örnek
a) x4 + 5x2 ? 7x + 6
Çözüm Dördüncü dereceden polinom.
b)x3 + + 4
x3 + + 4 = x3 + 3x-1 + 4 ifadesi polinom degildir. Çünkü ?1 üssü dogal sayi degildir.
c)5x6 + + 1
5x6+ + 1= 5x6 + x1/2 + 1 ifadesi polinom degildir. Çünkü üssü dogal sayi degildir.
d)2x + 7
Birinci dereceden polinom.
e)x3 + x2 ? 7x + 5
Üçüncü dereceden polinom.
P(x) = a , (a R) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun dercesi sifirdir.
Örnek
P(x) = 4
Q(x) = Polinomlari sabit polinomlardir.
Örnek
P(2x ? 3) = x4 + 2x2 ? x + 5 ise P(1) in degerini bulunuz.
Çözüm
2x ? 3 = 1 => x = 2 yazilir.
P(4 ? 3) = 16 + 8 ? 2 + 5
P(1) = 24 + 3 = 27 bulunur.
Örnek
P(2x ? 3) = 4x2 + 6x + 1 olduguna göre P(x) polinomunu bulunuz.
Çözüm
P(2x - 3) ifadesinden P(x) i elde etmek için fonksiyonlarda oldugu gibi x yerine 2x-3 ün tersi yazilir.
P(2x ? 3) = 4x2 + 6x + 1
P(x) = 4 ()2 + 6 () + 1
P(x) = 4 . + 3(x + 3) + 1
P(x) = x2 + 6x + 9 +3x + 9 + 1
P(x) = x2 + 9x + 19 olur.
IKI DEGISKENLI POLINOMLAR
P(x , y) = 3x4y3 + 5x3y + 6x ? 2y + 5 ifadesi x ve y? ye göre yazilmis reel katsayili polinomdur. Bu polinomda
3x4y3 terimin derecesi 3 + 4 = 7
5x3y terimin derecesi 3 + 1 = 4
6x terimin derecesi 1
- 2y terimin derecesi 1
5 terimin derecesi 0
P(x , y) polinomunun derecesi 7 dir.
Örnek
P(x , y) = 2x3y2 ? x2y + 2y ? x + 2
P(1 , 2) nin degerini bulunuz.
Çözüm
X = 1 , y = 2 yazilir.
P (1 , 2) = 2 . 1 . 4 ? 1 . 2 + 2 . 2 ? 1 + 2
P (1 , 2) = 8 ? 2 + 4 + 1 = 11 bulunur
Örnek
X3 + 2x2 + 3x + 5 = (x2 + x + 1)(x + a) + bx+c
Esitligini saglayan c kaçtir ?
Çözüm
X3 + 2x2 + 3x + 5 = x3 + ax2 + x2 + ax + x + a +bx + c
X3+ 2x + 3x + 5 = x3 + (a + 1)x2 + (a + b + 1)x +a +c
a+ 1 = 2 => a = 1
a + b + 1 = 3 => 1 + b + 1 = 3 => b = 1
a + c = 5 => 1 + c = 5 => c =4 olur.
KATSAYILAR TOPLAMI
P(x) = anxn + an ? 1 xn ? 1 + ... + a0 polinomunda x = 1 yazilirsa
örnek
P(x) = (3x2 ? 2x + 4).(x3 + 2x + 3) polinomunun katsayilar toplamini bulunuz.
Çözüm
X = 1 yazilir
P(1) = (3 ? 2 + 4).(1 + 2 + 3)
= 5 . 6
= 30 bulunur.
Örnek
P(3x + 4) = 5x3 ? 7x2 ? 3x + 5
Polinomu veriliyor. P(x) polinomunun katsayilar toplamini bulunuz.
Çözüm
P(x) polinomunun katsayilar toplami P(1) dir.
P(3x + 4) = p(1) => 3x + 4 = 1
X = - 1
P(3x + 4) polinomunda x = - 1 yazilirsa P(1) bulunur.
P(1) = 5(-1)3 ? 7(-1)2 ? 3(-1) + 5
= - 5 ? 7 + 3 + 5
= - 4
polinomunda sabit terimi bulmak için x = 0 yazilir.
Örnek
P(2x + 4) = 3x2 ? x + 7 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun sabit terimini bulunuz.
Çözüm
P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dir.
P(2x + 4) polinomunda 2x + 4 = 0 => x = -2 yazlilir.
P(0) = 3(-2)2 ? (-2) + 7
P(0) = 12 + 2 +7 = 21 olur.
Iki polinom toplanirken dereceleri ayni olan terimlerin katsayilari toplanir.
Örnek
P(x) = 3x3 ? 7x2 + 6x + 2
Q(x) = 2x3 + x2 ? 7x + 5
Polinomlarinin toplamini bulunuz.
Çözüm
P(x) + Q(x) = (3x3 ? 7x2 + 6x + 2) + (2x3 + x2 ? 7x + 5)
= (3 + 2)x3 + (-7 + 1)x2 + (6 ? 7)x + (2 + 5)
= 5x3 ? 6x2 ? x + 7 olur.
iki polinomun çarpimi , P(x) in her terimi , Q(x) in her terimi ile ayri ayri çarpilarak yapilir.
Örnek
P(x) ve Q(x) iki polinomdur.
Q(x) = P(x2) . P(x3) ise Q(x) ? in derecesi nedir?
Çözüm
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a0
P(x2) = an x2n + an-1 x2n-2 + ... + a0
P(x3) = an x3n + an-1 x3n-3 + ... +a0
Q(x) = P(x2) . P(x3)
Q(x) in derecesi 2n + 3n = 5n olur. 5 in katlari olmalidir.
